1 Как читать этот файл

Экзамен 12 июня, 14:00–16:00, closed-book. Вопросы обычно проверяют не зубрёжку определений, а понимание связей: почему высокая ликвидность у гособлигаций, чем VaR отличается от ES, когда предсказуемость доходности не равна неэффективности рынка.

Ниже — пять блоков в порядке курса (как в слайдах ARM1_1 … ARM1_5). В каждом блоке: суть → формулы → мини-задача в R → что спросят на экзамене.

⚠️ Это не учебник. Конспект ~12 страниц PDF. Он даёт карту тем, формулы и типовые вопросы — но не заменяет слайды ARM1_1–ARM1_5 (~8000 строк лекций). Картинки из слайдов здесь почти не продублированы: есть R-графики и плейсхолдеры <!-- [ГРАФИК] -->. Nelson–Siegel, FX hedging, M², style analysis — только кратко или не разобраны. Для экзамена хватает как скелета; слабые места добирай по PDF в этой же папке.

2 Часть 1. Институциональный фон и эффективность рынка

Источник: ARM1_1_course_background_efficiency.pdf

2.1 Суть одним абзацем

Курс начинается не с формул, а с картины мира: кто владеет активами, какие классы бывают ликвидными, зачем вообще говорить об эффективности рынка и когда имеет смысл активное vs пассивное управление. На экзамене из этого блока часто идут «логические» вопросы: ликвидность акций и гособлигаций, иллюзия точной оценки equity risk premium, спирали ликвидности Brunnermeier–Pedersen.

2.2 Классы активов и ликвидность

Класс Ликвидность (типично) Зачем помнить
Listed equity (акции) Высокая на крупных биржах Можно быстро войти/выйти без сильного impact
Government bonds (гособлигации) Высокая (особенно US Treasuries) Бенчмарк, залог, низкий кредитный риск
Private equity, недвижимость Низкая Illiquidity premium — доп. доход за неликвидность
T-bills Очень высокая Почти безрисковая ставка \(R_f\)

На экзамене: утверждение «чем выше риск (σ), тем ниже доход» — ложь. Исторически наоборот: больше риска → больше ожидаемая премия (trade-off, не монотонное «штрафование»).

2.3 Оптимальная доля рискового актива

Инвестор с постоянной абсолютной неприязнью к риску (CARA) и mean-variance логикой держит в акциях:

\[ w^* = \frac{\mu}{\sigma^2 A} \]

где \(\mu = E[R - R_f]\) — премия за риск, \(\sigma\) — волатильность избыточной доходности, \(A\) — коэффициент неприязни к риску.

mu  <- 0.04    # 4% годовых премия
sig <- 0.20    # 20% волатильность
A   <- 2
w_star <- mu / (A * sig^2)
cat(sprintf("Оптимальная доля в акциях: %.0f%%\n", 100 * w_star))
Оптимальная доля в акциях: 50%

Задача (как на квизе): \(\mu=4\%\), \(\sigma=20\%\), \(A=2\) → \(w^* = 0.04/(2 \cdot 0.04) = 0.5\) → 50% в акции.

Три рычага: больше \(\mu\) → больше \(w^*\); больше \(\sigma\) или \(A\) → меньше \(w^*\).

2.4 Эффективность рынка: что это на самом деле

Слабая форма: прошлые цены не помогают предсказать будущую доходность (после учёта транзакционных издержек).

Не путать с: «доходность никогда не меняется». Премия за риск может быть time-varying — тогда регрессии на dividend yield дают \(b \neq 0\), но это не «бесплатный обед», а компенсация за риск.

Grossman–Stiglitz (1980): полностью информационно эффективный рынок невозможен, если информация стоит денег. Кто-то должен платить за анализ и получать сверхприбыль — иначе никто не будет искать информацию.

2.5 Активное vs пассивное управление

Пассивное Активное
Идея Держать рынок (cap-weighted) Отклоняться от бенчмарка ради alpha
За Дёшево; если рынок эффективен — оптимально Можно эксплуатировать mispricing
Против Не ловит «ошибки» рынка Дорого; после fees alpha часто исчезает

2.6 Спирали ликвидности (Brunnermeier & Pedersen, 2009)

Цепочка на экзамене:

  1. Начальные убытки → проблемы с финансированием у спекулянтов
  2. Сокращение позиций → цены уходят от фундаментала
  3. Loss spiral: ещё убытки по открытым позициям
  4. Margin/haircut spiral: выше маржи → ещё меньше заёмного капитала
  5. Снова сокращение позиций → замыкание цикла

Это не «рынок глупый», а усиление шока через ограничения финансирования.

2.6.1 Мини-задачи (часть 1)

1. Акции на NYSE — высокая или низкая ликвидность? → Высокая.

2. ERP можно оценить с точностью ±20 bps? → Нет. Длинная выборка, волатильность, structural breaks → большая неопределённость.

3. \(w^*\) при \(\mu=6\%\), \(\sigma=15\%\), \(A=4\)?

0.06 / (4 * 0.15^2)
[1] 0.6666667

3 Часть 2. Акции: временной ряд и сечение

Источники: ARM1_2_stocks.pdf, ARM1_3_stocks_with_solutions.pdf

3.1 Суть одним абзацем

Блок делится на две половины. Временной ряд: насколько предсказуем рынок в целом (dividend yield, lagged returns). Сечение: почему одни акции в среднем обгоняют другие (factor models, APT, Fama–MacBeth). Ваш group assignment — как раз сечение (JKP factors + spanning).

3.2 Стилизованные факты (США, ~1926–2024)

  • Средняя годовая избыточная доходность рынка ≈ 8%, σ ≈ 20%, Sharpe ≈ 0.4
  • Распределение: толстые хвосты, левый скос, автокорреляция доходности ≈ 0
  • Точную ERP не измерить узким доверительным интервалом
# Симуляция: нормальные vs «толстые хвосты» (t)
n <- 5000
r_norm <- rnorm(n, 0.08/12, 0.20/sqrt(12))
r_t    <- rt(n, df = 5) * (0.20/sqrt(12)) + 0.08/12
par(mfrow = c(1, 2))
hist(r_norm, breaks = 40, main = "Нормальные месячные доходности", xlab = "r")
hist(r_t, breaks = 40, main = "t(5) — толще хвосты", xlab = "r")

par(mfrow = c(1, 1))

3.3 Предсказуемость: регрессия

\[ R_{t+1} = a + b \cdot x_t + \varepsilon_{t+1} \]

Если \(b\) статистически значим — сигнал \(x_t\) связан с ожидаемой доходностью: \(E_t[R_{t+1}] = a + b x_t\).

Классический random walk: \(b=0\) для любого \(x_t\), который виден рынку.

Но: для excess return на горизонте месяцев/лет dividend yield часто значим → не обязательно неэффективность; может быть time-varying risk premium (Cochrane: «discount rates»).

3.3.1 Dividend yield (Campbell–Shiller)

Высокий начальный dividend yield → в среднем выше будущая 10-летняя реальная доходность (квинтиль «дешёвого» рынка: yield 5.7–13.8%, средняя real return ≈ 10.6%).

Campbell–Shiller: неожиданная доходность раскладывается на новости о дивидендах (cash-flow) и ставках дисконтирования (discount-rate news).

3.4 Лог-доходности

\(r_t = \ln(1+R_t)\). Складываются во времени: \(\ln(P_T/P_0) = \sum r_t\). На экзамене: агрегация линейна по времени — это главное свойство log returns.

В портфеле log returns не складываются линейно по весам — для целей инвестора чаще используют простые \(R_t\).

3.5 Сечение: факторные модели

Избыточная доходность актива \(i\):

\[ r_i^e = \alpha_i + \sum_{j=1}^{L} \beta_{ij} F_j + e_i \]

Строгая факторная модель (для экзамена):

  • доходности коррелированы с факторами
  • факторы некоррелированы друг с другом
  • остатки \(e_i\) некоррелированы между собой и с факторами

3.5.1 Fama–MacBeth (два шага)

  1. N временных регрессий → оценки \(\hat\beta_i\) для каждой акции
  2. T кросс-секционных регрессий \(r_{i,t} = \gamma_{0t} + \gamma_{1t}\hat\beta_i + \ldots\) → премии за факторы в каждый момент
  3. Усреднить \(\gamma\) по времени → оценка risk premia

3.5.2 Spanning (связь с вашим assignment)

Регрессируем ваш фактор на CAPM / FF3 / q5. Большая значимая \(\alpha\) → модель не объясняет премию. q5 с ROE/IA/EG заточен под profitability/investment — как ваши gp_at, at_gr1.

mu <- 0.08; sig <- 0.20
sharpe <- mu / sig
cat(sprintf("Иллюстративный Sharpe рынка: %.2f\n", sharpe))
Иллюстративный Sharpe рынка: 0.40

3.5.3 Мини-задачи (часть 2)

1. Log returns агрегируются линейно по…? → времени (time dimension).

2. Fama–MacBeth: первый шаг оценивает…? → factor loadings (β) через N time-series regressions.

3. Строгая модель: остатки…? → cross-sectionally uncorrelated.

4 Часть 3. Гособлигации

Источник: ARM1_3_GovernmentBonds.pdf

4.1 Суть одним абзацем

Облигации — второй по важности класс. Нужно уметь: цена zero-coupon, yield, forward rate, связь yield curve с ожиданиями, предсказание bond risk premium (Cochrane–Piazzesi, регрессия Fama–Bliss).

4.2 Zero-coupon (discount bond)

Облигация срока \(n\) в момент \(t\) обещает $1 в \(t+n\).

\[ P_t^{(n)} = \frac{1}{(1+y)^{n}} \quad\text{или}\quad p_t^{(n)} = \ln P_t^{(n)} \approx -n \cdot y \]

Пример: 2 года, годовая доходность 5.13% → \(P^{(2)} = 1/1.0513^2 \approx 0.905\) («скидка» ~10%).

4.3 Holding period return

Доходность за период зависит от изменения цены и купонов. Yield ≠ realized return — yield сравнивает облигации «на входе», но фактический return зависит от того, как сдвинулась кривая.

4.4 Forward rate (гросс-ставки)

Если \(Y_t^{(1)}\) и \(Y_t^{(2)}\) — гросс one- и two-year yields (\(1+y\)):

\[ (Y_t^{(2)})^2 = Y_t^{(1)} \cdot F_t^{(2)} \quad\Rightarrow\quad F_t^{(2)} = \frac{(Y_t^{(2)})^2}{Y_t^{(1)}} \]

Y1 <- 1.020
Y2 <- 1.021
F2 <- Y2^2 / Y1
cat(sprintf("Гросс 2-year forward rate F^(2) = %.4f\n", F2))
Гросс 2-year forward rate F^(2) = 1.0220

Экзамен: \(Y^{(1)}=1.020\), \(Y^{(2)}=1.021\) → \(F^{(2)} \approx 1.022\).

4.5 Expectations hypothesis

Эквивалентные формулировки:

  • длинная ставка = среднее ожидаемых коротких
  • forward rate = ожидаемая будущая spot rate

Вверх наклонная кривая → рынок ожидает рост кратких ставок. На данных EH обычно отвергается — forward rates содержат term premium.

4.6 Fama–Bliss / Cochrane–Piazzesi

Регрессия избыточной доходности облигации на spread форвардных ставок, напр.:

\[ r^{e(3)}_{t,t+1} = \gamma_0 + \gamma_1 \big(f_t^{(3)} - y_t^{(1)}\big) + \text{error} \]

Пример (экзамен): \(r^e = 1.25 \cdot (f^{(3)} - y^{(1)})\), \(y^{(1)}=1.5\%\), \(f^{(3)}=3.5\%\).

y1 <- 0.015
f3 <- 0.035
spread <- f3 - y1
r_excess <- 1.25 * spread
r_total  <- y1 + r_excess
cat(sprintf("Expected excess: %.2f%%, total 1y return on 3y zero: %.2f%%\n",
            100*r_excess, 100*r_total))
Expected excess: 2.50%, total 1y return on 3y zero: 4.00%

→ excess 2.5%, total ≈ 4%.

4.6.1 Мини-задачи (часть 3)

1. Forward \(F^{(2)}\) при gross \(Y^{(1)}=1.02\), \(Y^{(2)}=1.03\)?

1.03^2 / 1.02
[1] 1.040098

5 Часть 4. Измерение и управление рисками портфеля

Источник: ARM1_4_PortfolioRisks.pdf

5.1 Суть одним абзацем

Риск-менеджмент отделён от portfolio management (агентские конфликты, независимый контроль). Метрики: дисперсия/волатильность, VaR, Expected Shortfall, ковариационная матрица. Плюс типы риска: FX, credit, liquidity, operational.

5.2 Доходности

Простая: \(R_t = (P_t + CF_t)/P_{t-1} - 1\). Портфель: \(R_w = w'R\).

Excess return: \(R^e = R - R_f\). Active return: портфель минус бенчмарк; active weights \(w_A = w - w_B\), \(\sum w_A = 0\) (dollar-neutral).

5.3 VaR

\[ \Pr(-R \geq \text{VaR}) = \alpha \]

При доверии 95% (\(\alpha=5\%\)): с вероятностью 95% потеря меньше VaR; с вероятностью 5% — больше или равна.

Интуиция: VaR — порог в хвосте, не средний убыток в хвосте.

5.3.1 Пример FX (из лекции)

EUR-инвестор держит USD 10m, \(S=1.25\) → exposure €8m.
10-day σ = \(0.565\% \times \sqrt{10}\).
95% VaR ≈ \(1.65 \times \sigma_{10d}\) → 2.95% от exposure → €236,000.

exposure_eur <- 8e6
sigma_daily  <- 0.00565
horizon      <- 10
sigma_h      <- sigma_daily * sqrt(horizon)
var_pct      <- 1.65 * sigma_h
var_eur      <- exposure_eur * var_pct
cat(sprintf("VaR 95%% 10d: %.1f%% = EUR %s\n", 100 * var_pct, format(round(var_eur), big.mark = ",")))
VaR 95% 10d: 2.9% = EUR 235,843

5.3.2 Два фактора (FX + rates)

Суммарный VaR не равен сумме, если есть корреляция \(\rho\):

\[ \text{VaR}_{\text{tot}} = \sqrt{\text{VaR}_1^2 + \text{VaR}_2^2 + 2\rho\,\text{VaR}_1\,\text{VaR}_2} \]

При \(\rho=-0.27\) хедж частично снижает общий риск.

5.4 Expected Shortfall (ES / CVaR)

\[ \text{ES} = E[-R \mid -R \geq \text{VaR}] \]

Определение на экзамене: ожидаемый убыток при условии, что пробит лимит VaR. Всегда ≥ VaR; разрыв большой при толстых хвостах.

# Иллюстрация: ES > VaR для t-распределения
r <- rt(1e5, df = 4) * 0.02
var95 <- quantile(-r, 0.95)
es95  <- mean(-r[-r >= -var95])  # средний убыток в хвосте за VaR
cat(sprintf("VaR 95%%: %.3f%%, ES 95%%: %.3f%%\n", 100*var95, 100*es95))
VaR 95%: 4.298%, ES 95%: 0.329%

5.5 Ковариация и портфель

\[ \sigma_w^2 = w' C w \]

Оценка \(C\) для тысяч активов — шумная; factor models снижают размерность.

5.5.1 Мини-задачи (часть 4)

1. Что больше: VaR или ES при том же α? → ES (средний убыток в хвосте за порогом VaR).

2. ES — это ожидаемый убыток при условии…? → пробития VaR.

3. Зачем отделять risk management от PM? → конфликт интересов (PM как call option), независимый контроль, разные прогнозы return vs risk.

6 Часть 5. Параметрические портфели и оценка результатов

Источники: ARM1_5_parametric_opt_performance_eval.pdf, ARM1_5_with_solutions_...pdf

6.1 Суть одним абзацем

Ожидаемые доходности меняются во времени. Классический Markowitz чувствителен к \(\hat\mu\). Два ответа: Black–Litterman (учёт ошибки оценки \(\mu\)) и Brandt–Santa-Clara–Valkanov (BSV, 2009) — веса как функция характеристик \(x_{i,t}\), без явной оценки \(\mu\).

6.2 BSV: идея

\[ w_{i,t} = \bar w_{i,t} + \frac{\theta' x_{i,t}}{N_t} \]

  • \(\bar w_{i,t}\) — вес в бенчмарке (cap-weighted market)
  • \(x_{i,t}\) — нормированные характеристики (mean 0, sd 1): size, B/M, momentum
  • \(\theta\) — оценивается, максимизируя utility / Sharpe out-of-sample

Зачем: маленькое изменение \(\hat\mu\) в Markowitz → дикие веса; BSV стабилизирует через параметризацию.

6.3 Оценка performance (return-based)

Метрика Формула (идея) Когда
Sharpe \((\bar R - R_f)/\sigma\) Total risk, сравнение с рынком
Treynor \((\bar R - R_f)/\beta\) Diversified, фокус на systematic risk
Jensen α intercept CAPM: \(R_i - R_f = \alpha + \beta(R_m-R_f)\) Сверхдоходность после β
M² масштабирование до σ рынка Sharpe в $ terms

Годовой Sharpe: умножить месячный на \(\sqrt{12}\) (если i.i.d.).

Rf <- 0.02; Rm <- 0.10
Ra <- 0.12; beta_a <- 1.2
alpha_jensen <- Ra - Rf - beta_a * (Rm - Rf)
treynor <- (Ra - Rf) / beta_a
sharpe_a <- (Ra - Rf) / 0.18
cat(sprintf("Jensen alpha = %.1f%%, Treynor = %.1f%%, Sharpe = %.2f\n",
            100*alpha_jensen, 100*treynor, sharpe_a))
Jensen alpha = 0.4%, Treynor = 8.3%, Sharpe = 0.56

Levered fund: если B имеет β=1.2 и α=2.2%, леверидж 1.5× масштабирует и β, и α пропорционально (смотри условие задачи).

6.3.1 Spanning снова (связь с assignment)

Если Jensen α вашего фактора ≈ 0 в q5 → фактор ценообразован q-моделью. Большая α в CAPM → рынок не объясняет; FF3 поднимает R², но profitability/investment аномалии остаются.

7 Шпаргалка: типовые формулировки экзамена

Ниже — паттерны из квизов и midterm-style вопросов (ARM_2025/exam/ARM_solutions_combined.md + лекции).

# Тема Правильная интуиция
1 Ликвидность акций Высокая (биржевые)
2 Ликвидность гособлигаций Высокая
3 Высокий σ → низкий return? Нет (risk-return tradeoff)
4 ERP ±20 bps? Нет, слишком шумно
5 Log returns Линейно по времени
6 ES vs VaR ES = mean loss beyond VaR, ES > VaR
7 Forward rate \(F = (Y^{(2)})^2 / Y^{(1)}\) gross
8 Fama–Bliss excess = γ × (forward spread)
9 Arbitrage с 2 портфелями Обычно недостаточно данных
10 Fama–MacBeth N TS → T cross-section → mean γ
11 Strict factor model correlated / uncorrelated / uncorrelated / uncorrelated
12 Noise traders DSSW sentiment bids price; may earn more
13 Dividend yield Positive predictor of long-horizon returns
14 Highest historical return 1972–2020 Small cap; lowest T-bills
15 \(w^*=0.04/(2\cdot0.2^2)\) 0.5
16 Liquidity spiral funding → delever → prices → margins
17 Idiosyncratic residuals Cross-sectionally uncorrelated
18 Campbell–Shiller Unexpected returns ↔︎ dividends & discount rates

8 План на последние два дня

День 1 (сегодня): части 1–3 + все мини-задачи в R. Прогони формулы: \(w^*\), forward, Fama–Bliss, VaR.

День 2 (завтра): части 4–5 + шпаргалка. Пройди closed-book: объясни вслух разницу predictability vs inefficiency, VaR vs ES, зачем Fama–MacBeth, что делает BSV.

В день экзамена: только шпаргалка-таблица и 3 формулы: \(w^*\), forward gross, ES definition.

Источники: слайды ARM1_1–ARM1_5 в /root/wu/ARM_2026/exam/, решения квизов ARM_2025/exam/ARM_solutions_combined.md, group assignment Group 20.