Asset and Risk Management I

Учебник по курсу WU 5578

1 Как пользоваться учебником

Это полная версия материала к экзамену 12 июня 2026, 14:00–16:00 (closed-book, TC.2.01). Пять частей повторяют лекции ARM1_1 … ARM1_5 в этой папке. Короткий конспект на ~12 страниц — arm_exam_prep.Rmd. Аудио для прогулки — arm_audio_script.md (чистый текст без кода). Видео — arm_videos.md.

Стиль: длинные абзацы, сначала суть, потом формулы и R. Картинки из слайдов — плейсхолдеры <!-- [ГРАФИК] -->; при необходимости вставь скриншоты из PDF.

Навигация: Часть 1 → Часть 2 → Часть 3 → Часть 4 → Часть 5 → Глоссарий → Формулы → Шпаргалка

Интерактив: на arm1.koveh.com/quizzes — 150 вопросов, кликабельный словарь (52 термина) и панель формул. Ниже в учебнике те же определения и формулы встроены по частям и в полном виде.

1.1 Карта тем (5 частей = ARM1_1 … ARM1_5)

Часть	PDF	Главные темы
1	ARM1_1	Классы активов, ликвидность, ERP, w*, EMH (слабая/сильная), Grossman–Stiglitz, актив vs пассив, спираль ликвидности
2	ARM1_2, ARM1_3	Стилизованные факты, log returns, предсказуемость, Campbell–Shiller, факторные модели, Fama–MacBeth, APT, CAPM, FF3/FF5, momentum, spanning, DSSW
3	ARM1_3_GovernmentBonds	Zero-coupon, YTM, forward rates, EH, term premium, Fama–Bliss, duration, кривая доходности
4	ARM1_4	Rw, active return/weights, w′Cw, VaR, ES, два фактора + ρ, risk management vs PM
5	ARM1_5	Markowitz, Black–Litterman, BSV, Sharpe/Treynor/Jensen/M², style analysis, spanning assignment

---

2 Часть 1. Институциональный фон и эффективность рынка

Источник: ARM1_1_course_background_efficiency.pdf
Видео: MIT Lo Efficient Markets I–III; Cochrane Discount Rates — см. arm_videos.md

2.1 Зачем курс начинается с институций

Прежде чем считать беты и VaR, курс задаёт рамку: кто владеет активами, какие классы существуют, где ликвидность высокая, а где инвестор платит премию за невозможность быстро выйти. Это не «введение ради введения» — на экзамене из этого блока идут вопросы без калькулятора: ликвидность Treasuries, иллюзия точной оценки equity risk premium, цепочка спирали ликвидности Brunnermeier–Pedersen, выбор между активным и пассивным управлением.

Институциональные инвесторы — пенсионные фонды, страховщики, суверенные фонды — держат долгие горизонты и ограничения по регуляторике. Частные инвесторы чаще переоценивают свою способность «обойти рынок». Курс не требует знать названия всех регуляторов, но требует понимать: ликвидность и издержки определяют, реалистична ли стратегия.

2.2 Классы активов и ликвидность

Класс	Ликвидность (типично)	Экзаменная мысль
Listed equity	Высокая на крупных биржах	Быстрый вход/выход без сильного price impact
Government bonds (US Treasuries)	Высокая	Бенчмарк, залог, низкий кредитный риск
Corporate bonds	Средняя–высокая (зависит от рейтинга)	Спред за кредитный риск
Private equity, недвижимость	Низкая	Illiquidity premium
T-bills	Очень высокая	Почти безрисковая Rf

Ловушка на квизе: «Чем выше риск (σ), тем ниже доходность» — ложь. Работает risk–return tradeoff: больше систематического риска в среднем компенсируется большей ожидаемой премией. Формулировка «всегда ниже» неверна.

Вторая ловушка: ERP можно оценить с точностью ±20 bps. Нет. Длинная выборка, regime shifts, кризисы — доверительный интервал широкий. Средняя избыточная доходность рынка США порядка 8% годовых при σ ≈ 20%, но «истинное» число на десятилетия вперёд неизвестно.

2.3 Оптимальная доля рискового актива (CARA / mean-variance)

Инвестор с постоянной абсолютной неприязнью к риску (CARA) в классической mean-variance задаче держит в рисковом активе долю:

$$ w^* = \frac{\mu}{\sigma^2 A} $$

где μ = E[R−R_f] — премия за риск, σ — волатильность избыточной доходности, A — коэффициент неприязни к риску.

mu  <- 0.04; sig <- 0.20; A <- 2
w_star <- mu / (A * sig^2)
cat(sprintf("w* = %.0f%% в акциях\n", 100 * w_star))

w* = 50% в акциях

Числовой пример (квиз): μ = 4%, σ = 20%, A = 2 → w^* = 0.04/(2⋅0.04) = 0.5 → 50% в акции.

Три рычага: ↑ μ → ↑ w^*; ↑ σ или ↑ A → ↓ w^*. На экзамене могут поменять одну величину — проверь знаменатель Aσ².

2.4 Три формы EMH

Форма	Что «уже в цене»	Экзаменный пример
Слабая	История цен и объёмов	Технический анализ не даёт сверхдоходности net of fees
Полусильная	Вся публичная информация	Отчёты, новости — в цене после публикации
Сильная	Даже приватная информация	На практике не защищают (инсайд запрещён)

2.5 Эффективность рынка: слабая форма и time-varying premia

Слабая форма EMH: прошлые цены и объёмы не позволяют систематически бить рынок после транзакционных издержек.

Не путать с: «доходность константа». Премия за риск меняется во времени (Cochrane: discount rates). Тогда регрессия R_t + 1^e на dividend yield даёт b ≠ 0 — это не обязательно arbitrage, а изменение компенсации за риск, когда рынок «дешёвый» или «дорогой».

Grossman–Stiglitz (1980): полностью информационно эффективный рынок невозможен, если информация стоит денег. Должна существовать экономическая рента у информированных инвесторов — иначе никто не будет платить за анализ.

2.6 Активное vs пассивное управление

	Пассивное	Активное
Идея	Cap-weighted индекс	Отклонение от бенчмарка ради α
За	Низкие fees; при EMH — рационально	Mispricing, factor tilts
Против	Не ловит ошибки рынка	Fees + trading; α часто ≈ 0 net

На экзамене: после издержек активное управление в среднем не обязано побеждать; это согласуется с EMH в сильной форме с учётом costs.

2.7 Спирали ликвидности (Brunnermeier & Pedersen, 2009)

Цепочка для ответа «всухую»:

1. Шок → убытки у leveraged traders
   
2. Ограничение финансирования / margin calls
   
3. Вынужденные продажи → цены ниже фундаментала
   
4. Loss spiral: ещё убытки по открытым позициям
   
5. Margin/haircut spiral: выше haircuts → меньше leverage
   
6. Повтор шага 2–3

Это усиление начального шока через финансовые ограничения, не поведенческая «глупость» как единственное объяснение.

2.7.1 Упражнения (часть 1)

1. Ликвидность акций NYSE? → Высокая.
   
2. ERP ±20 bps? → Нет.
   
3. w^* при μ = 6%, σ = 15%, A = 4:

0.06 / (4 * 0.15^2)

[1] 0.6666667

2.8 Глоссарий части 1

2.8.0.1 EMH

Efficient Market Hypothesis — идея, что цены активов уже отражают всю информацию, которую разумный инвестор может использовать для систематической сверхприбыли. Это не значит, что цены «правильные» в моральном смысле или что волатильность нулевая: премия за риск и ожидания меняются, но в слабой форме прошлые цены не дают бесплатного сигнала.

На курсе EMH — фон для всего остального: если рынок эффективен в нужном смысле, активное управление должно проигрывать индексу после комиссий; если нет — остаётся место для α, факторов и поведенческих моделей.

2.8.0.2 Слабая форма EMH

Слабая форма утверждает: история цен и объёмов не позволяет стабильно зарабатывать сверх E[R−R_f] после издержек. Технический анализ, «паттерны» на графике и торговля на прошлой доходности не дают преимущества в среднем.

Важная оговорка с лекции: отсутствие предсказуемости по прошлым ценам не означает постоянную доходность. Меняется премия за риск, дивидендный yield, волатильность — временной ряд рынка может быть предсказуем, и это ещё не нарушение слабой формы, если сигнал не в чистой цене вчера.

2.8.0.3 Сильная форма EMH

Сильная (и полусильная) форма говорит, что вся публичная информация — отчёты, новости, макро — уже в цене. Инсайдерская сильная форма добавляет даже приватную информацию; на практике её почти никто не защищает из‑за запрета инсайда.

Для экзамена: слабая — только история цен; полусильная/сильная — публичные фундаментальные данные. Аномалии вроде momentum или value после публикации факторов — предмет споров: рынок неэффективен или это компенсация за риск?

2.8.0.4 Equity risk premium (ERP)

Equity risk premium — ожидаемая избыточная доходность акций над безрисковой ставкой: E[R−R_f]. Это плата инвестору за то, что он держит рисковый актив, а не T-bill.

Оценить ERP точно трудно: выборка короткая, кризисы сдвигают среднее, режимы меняются. В модели CARA премия μ входит в числитель оптимальной доли w^*. На экзамене не путайте ERP рынка с премией отдельной акции в CAPM — там ещё множитель β.

2.8.0.5 Rf (безрисковая ставка)

Безрисковая ставка R_f — эталон «деньги под матрасом в финансовом смысле»: краткосрочные госбумаги США (T-bills). Все избыточные доходности считаются относительно неё: R^e = R − R_f.

На практике «безрисково» — условность: реинвестирование, валюта, инфляция. В формулах курса R_f — ставка на горизонт удержания; в CAPM и Jensen α она вычитается из доходности актива и рынка одинаково.

2.8.0.6 Ликвидность

Ликвидность — насколько быстро можно купить или продать актив большим объёмом, почти не двигая цену. Высокая ликвидность у крупных акций NYSE и у US Treasuries; низкая — у private equity, недвижимости, мелких бумаг.

Низкая ликвидность — отдельный риск и часть премии (illiquidity premium). В кризис ликвидность исчезает первой: спреды растут, маржинальные требования давят — это мост к спирали Brunnermeier–Pedersen.

2.8.0.7 w* (оптимальная доля)

Оптимальная доля w^* в рисковом активе при CARA-полезности и нормальных избыточных доходностях показывает, как агрегированный инвестор делит капитал между риском и безриском.

$$w^* = \frac{\mu}{A\sigma^2}$$

Здесь μ = E[R−R_f] — премия за риск, σ² — дисперсия избыточной доходности, A — коэффициент абсолютной неприязни к риску. Больше премия → больше w^*; больше волатильность или неприязнь → меньше доля в акциях. Модель учебная, но логика «риск–премия–отношение к риску» повторяется везде.

2.8.0.8 μ (премия за риск)

В обозначениях курса μ — ожидаемая избыточная доходность рискового актива: μ = E[R−R_f]. Это не общее матожидание доходности E[R], а именно премия над R_f.

μ стоит в числителе w^*: чем выше ожидаемая награда за риск, тем больше оптимальная доля в акциях. Ошибки оценки μ̂ в реальных портфелях — главная боль Markowitz; поэтому на практике часто якорятся к бенчмарку (BSV, Black–Litterman).

2.8.0.9 σ (волатильность)

σ — стандартное отклонение доходности (или избыточной доходности, если так задано в задаче). Это мера «разброса», не среднего убытка в хвосте.

В w^* входит σ² в знаменателе: при прочих равных более волатильный актив получает меньший вес. Sharpe ratio нормирует среднюю премию на σ. Для портфеля дисперсия — w^⊤Cw; VaR/ES смотрят на хвост, а не на σ напрямую.

2.8.0.10 A (неприязнь к риску)

Коэффициент A в CARA (constant absolute risk aversion) описывает, насколько инвестор «штрафует» дисперсию в полезности. Чем больше A, тем осторожнее человек при той же премии μ.

В формуле w^* неприязнь стоит в знаменателе вместе с σ²: осторожный инвестор держит меньше акций. На экзамене не путайте A с β актива: β — чувствительность к рынку; A — предпочтения инвестора.

2.8.0.11 Grossman–Stiglitz

Парадокс Grossman–Stiglitz: если рынок полностью информационно эффективен, никто не окупит затраты на сбор и анализ информации — значит, кто-то должен торговать на неполной информации, и полная эффективность невозможна в равновесии.

Вывод для курса: EMH — полезная крайность, а не буквальная правда. Есть место фондам, research и временным неэффективностям, но конкуренция за идеи съедает простые сигналы. Хороший ответ на экзамене связывает парадокс с активным vs пассивным управлением.

2.8.0.12 Спираль ликвидности

Модель Brunnermeier–Pedersen объясняет, почему в кризис цены падают ниже «фундамента». Loss spiral: убытки → принудительные продажи → ещё ниже цены → ещё убытки. Margin/haircut spiral: кредиторы ужесточают залог (выше haircut) → меньше плечо → распродажи → падение ликвидности.

Это не опровержение EMH в слабой форме навсегда, а механизм фрикций финансирования. На экзамене полезно назвать оба спиральных канала и связать с ликвидностью и кредитным плечом.

2.8.0.13 Активное / пассивное управление

Пассивное управление — держать рыночный индекс (часто cap-weighted): мало сделок, низкие fees, доходность ≈ индекс минус издержки. Активное — отклоняться от бенчмарка, чтобы заработать α; платите за research, turnover и часто проигрываете после fees.

Арифметика простая: средний активный инвестор до fees = рынок; после fees — ниже. Выигрывают те, кто систематически даёт положительную active return R_p − R_B. Связь с EMH: если рынок эффективен, пассивный индекс — разумный default.

2.9 Формулы части 1

Оптимальная доля в рисковом активе (CARA)

$$w^* = \frac{\mu}{A\sigma^2}$$

μ = E[R−R_f] — премия; A — неприязнь к риску; σ — волатильность избыточной доходности.

Избыточная доходность

R^e = R − R_f

Доходность над безрисковой ставкой R_f (T-bills).

Equity risk premium (ERP)

ERP = E[R−R_f]

Ожидаемая премия рынка акций; на практике оценивается с большой неопределённостью.

→ Часть 2: Акции

---

3 Часть 2. Акции: временной ряд и сечение

Источники: ARM1_2_stocks.pdf, ARM1_3_stocks_with_solutions.pdf
Видео: Lo Risk and Return; Cochrane Discount Rates — arm_videos.md

3.1 Две половины блока

Time series спрашивает: предсказуем ли рынок в агрегате (dividend yield, momentum на индексе, volatility). Cross section спрашивает: почему акция A в среднем обгоняет акцию B (size, value, profitability, investment, momentum). Group assignment Group 20 — чистое сечение: JKP factors, spanning, Jensen α.

3.2 Стилизованные факты (США, ~1926–2024)

Средняя годовая избыточная доходность рынка ≈ 8%, σ ≈ 20%, Sharpe ≈ 0.4. Распределение: толстые хвосты, левый скос; автокорреляция простых месячных доходностей ≈ 0. Малые капы исторически обгоняли крупные; T-bills — наименьшая доходность среди основных классов (квиз «1972–2020»).

n <- 5000
r_norm <- rnorm(n, 0.08/12, 0.20/sqrt(12))
r_t    <- rt(n, df = 5) * (0.20/sqrt(12)) + 0.08/12
par(mfrow = c(1, 2))
hist(r_norm, breaks = 40, main = "Нормальные r", xlab = "r")
hist(r_t, breaks = 40, main = "t(5) — толще хвосты", xlab = "r")

par(mfrow = c(1, 1))

3.3 Предсказуемость и random walk

R_t + 1 = a + b ⋅ x_t + ε_t + 1

Значимый b → E_t[R_t + 1] = a + bx_t. Random walk: b = 0 для любого x_t в информационном множестве рынка.

Для excess returns на горизонте лет dividend yield часто значим: высокий yield → в среднем выше будущая real return (Campbell–Shiller квинтили: «дешёвый» рынок ~10.6% real за 10 лет).

Campbell–Shiller: неожиданная доходность = новости о cash flows + новости о discount rates. Предсказуемость ≠ неэффективность, если премия за риск time-varying.

3.4 Лог-доходности

r_t = ln (1+R_t). Складываются по времени: $\ln(P_T/P_0) = \sum_{s=1}^T r_s$. В портфеле не линейны по весам — для wealth используй простые R_t.

Экзамен: log returns aggregate linearly in the time dimension.

3.5 Факторные модели (строгая форма)

$$ r_i^e = \alpha_i + \sum_{j=1}^{L} \beta_{ij} F_j + e_i $$

На экзамене для strict factor model:

• returns correlated with factors
  
• factors uncorrelated with each other
  
• residuals e_i uncorrelated across assets and with factors

APT: достаточно хорошо диверсифицированный портфель не несёт idiosyncratic risk → ожидаемая доходность определяется factor loadings.

3.6 CAPM

E[R_i] − R_f = β_i (E[R_m]−R_f)

β_i — чувствительность к рынку; idiosyncratic risk диверсифицируется. Jensen α — intercept регрессии r_i^e на r_m^e: сверхдоходность после учёта β. На данных CAPM слаб в сечении → FF и другие факторы.

3.7 Fama–French, momentum и аномалии

Фактор	Смысл	Заметка
SMB	Small minus big	Size premium
HML	High B/M minus low	Value
RMW / CMA	Profitability, investment	FF5
UMD	Winners minus losers	Momentum — часто не spanning FF3

q5 добавляет ROE и investment factor — ближе к assignment Group 20 (spanning на q5).

3.8 DSSW (noise traders)

Модель De Long–Shleifer–Summers–Waldmann: sentiment μ_t сдвигает цену от фундамента; арбитраж ограничен риском. Цена:

$$ P_t = 1 + \frac{\mu_t}{1+R} + \frac{\rho_t}{R(1+R)} $$

Шумовые трейдеры могут временно зарабатывать больше — не опровержение EMH в слабой форме, а ограниченный арбитраж.

3.9 Fama–MacBeth (1973)

1. N time-series regressions → β̂_i для каждой акции
   
2. T cross-sectional: r_i, t = γ_0t + γ_1tβ̂_i + ⋯
   
3. γ̄₁ — оценка risk premium фактора

Первый шаг — betas; второй — prices of risk в каждый момент.

3.10 Spanning (связь с assignment)

Регрессия: твой фактор на CAPM / FF3 / FF5 / q5. Значимая α → модель не «поглощает» премию фактора. q5 (ROE, IA, EG) ближе к profitability/investment аномалиям, чем чистый CAPM.

mu <- 0.08; sig <- 0.20
cat(sprintf("Иллюстративный Sharpe: %.2f\n", mu/sig))

Иллюстративный Sharpe: 0.40

3.10.1 Упражнения (часть 2)

1. Log returns линейны по…? → времени.
   
2. Fama–MacBeth шаг 1 → β.
   
3. Strict model: residuals → cross-sectionally uncorrelated.

3.11 Глоссарий части 2

3.11.0.1 Лог-доходность

Лог-доходность r_t = ln (1+R_t) удобна во временных рядах: она аддитивна по времени. Накопленная доходность за период — сумма лог-доходностей: $\ln(P_T/P_0) = \sum_{t=1}^T r_t$.

В портфеле на один период по-прежнему используют простые доходности R_t и веса w_i — лог нельзя просто взвесить как линейную комбинацию доходностей активов. На экзамене частый вопрос: когда складываем r_t, когда считаем 1 + R.

3.11.0.2 Random walk

В регрессии предсказуемости R_t + 1 = a + b x_t + ε_t + 1 гипотеза random walk (в слабом смысле) — что прошлый сигнал x_t не помогает: b = 0. Тогда лучший прогноз следующей доходности — константа (часто средняя премия).

Отклонение b ≠ 0 не доказывает «лёгкие деньги»: сигнал может отражать time-varying risk premium (Campbell–Shiller), а не арбитраж. Различайте random walk цены и предсказуемость премии.

3.11.0.3 Campbell–Shiller

Разложение Campbell–Shiller: неожиданная доходность акций складывается из новостей о будущих денежных потоках (дивиденды, buybacks) и новостей о ставках дисконтирования. Если yield высокий, часто это либо низкая цена при тех же дивидендах, либо рынок требует большую премию.

Практический вывод: предсказуемость по dividend yield не равна неэффективности — меняется ожидаемая доходность, а не «ошибка» цены. На экзамене свяжите с EH на облигациях: похожая логика discount rate vs cash flow.

3.11.0.4 Dividend yield

Dividend yield — отношение дивидендов к цене акции (часто за год). Высокий начальный yield исторически связан с более высокой средней будущей реальной доходностью на длинном горизонте — но связь шумная и режимно-зависимая.

В Campbell–Shiller yield — один из сигналов x_t в регрессии предсказуемости. Не путайте с купонной доходностью облигации: у акций поток не фиксирован, дивиденды режут и наращивают.

3.11.0.5 Факторная модель

Факторная модель объясняет избыточную доходность актива i через общие факторы F_j и idiosyncratic остаток e_i:

$$r_i^e = \alpha_i + \sum_{j=1}^{L} \beta_{ij} F_j + e_i$$

В строгой постановке курса факторы ортогональны, а остатки e_i поперечно некоррелированы — тогда диверсификация снимает idiosyncratic risk. β_ij — нагрузки; α_i — то, что факторы не объяснили (кандидат на аномалию или миск pricing). APT и Fama–MacBeth опираются на эту структуру.

3.11.0.6 Fama–MacBeth

Двухшаговая процедура Fama–MacBeth оценивает премии за факторы без предположения о стационарности β каждой акции на всей выборке.

Шаг 1: для каждой акции i временная регрессия r_i, t^e на факторы → оценки β̂_i. Шаг 2: на каждой дате t кросс-секционная регрессия r_i, t^e на β̂_i → коэффициенты γ̂_t. Шаг 3: среднее γ̄ по времени — оценка премии за фактор с Fama–MacBeth standard errors.

Интуиция: сначала «кто чувствителен к фактору», потом «платят ли рынки за эту чувствительность сегодня».

3.11.0.7 APT

Arbitrage Pricing Theory (Ross): при достаточном числе факторов хорошо диверсифицированный портфель не несёт idiosyncratic risk; ожидаемая доходность — линейная функция factor loadings. В отличие от CAPM, не требует одного «рыночного» портфеля и квадратичной полезности — достаточно отсутствия арбитража.

На экзамене: APT — многofакторное ожидание без жёсткой истории mean–variance; CAPM — частный случай с одним фактором R_m − R_f. Оба связаны с β и премиями λ_j.

3.11.0.8 Spanning

Spanning-тест спрашивает: объясняет ли известная модель (CAPM, Fama–French 3/5) доходность нового фактора или стратегии? Регрессируете доходность кандидата на доходности факторов базовой модели; значимый intercept α → фактор не «поглощён» моделью — несёт отдельную премию.

Пример: momentum UMD часто даёт α поверх FF3 — значит, value и size не spanning momentum. Для экзамена: spanning — про вложенность информации, не про causality.

3.11.0.9 Sharpe ratio

Sharpe ratio — доходность на единицу общего риска (волатильности):

$$\text{Sharpe} = \frac{\bar{R} - R_f}{\sigma}$$

Чем выше Sharpe, тем больше премия за каждый процент σ. Исторически рынок акций США даёт Sharpe порядка 0.3–0.5 в годовых терминах (зависит от выборки).

Из месячных данных при i.i.d. годовой Sharpe ≈ месячный $\times \sqrt{12}$. Sharpe сравнивает портфели с разной волатильностью; Treynor — для диверсифицированных портфелей с фокусом на β.

3.11.0.10 β (бета)

β — чувствительность доходности актива к фактору. В CAPM β_i = Cov(R_i,R_m)/Var(R_m): на сколько процентов в среднем движется акция, когда рынок движется на 1%.

В многофакторной модели у актива несколько β_ij — по одному на фактор F_j. На первом шаге Fama–MacBeth β_i оценивают по времени для каждой акции. Высокая β → больше систематического риска → в CAPM требуется большая ожидаемая премия.

3.11.0.11 α (альфа)

α — сверхдоходность, которую модель не объяснила: intercept в регрессии r_i^e на факторы или рынок. Положительная Jensen α — фонд обогнал CAPM после учёта β; отрицательная — недобрал.

В факторной модели α_i у отдельной акции на длинной выборке должен быть ≈0 в эффективном рынке; у стратегии или фонда устойчивая α — признак skill или неучтённого риска. Не путайте α в регрессии с буквой α уровня VaR (там это хвостовая вероятность).

3.11.0.12 CAPM

Capital Asset Pricing Model связывает ожидаемую премию актива с его рыночной β:

E[R_i] − R_f = β_i (E[R_m]−R_f)

Идея: только систематический риск (корреляция с рынком) оплачивается; idiosyncratic risk диверсифицируется. Рыночный портфель — tangency portfolio при допущениях модели.

На данных CAPM слаб для сечения (size, value); используют как benchmark и для Jensen α. Экзамен: знать формулу, роль β, отличие от APT/FF.

3.11.0.13 DSSW (noise traders)

Модель De Long, Shleifer, Summers, Waldmann (DSSW): на рынке есть рациональные арбитражёры и noise traders с ошибочными ожиданиями (sentiment). Арбитраж ограничен: рискованно ставить против толпы, пока sentiment не развернётся.

Цена может отклоняться от фундамента; noise traders иногда зарабатывают больше в коротком горизонте, «сдвигая риск» на арбитражёров. Формула цены связывает P_t с μ_t (sentiment) и поправкой на риск ρ_t. Связь с EMH: даже без новой информации цена движется из‑за потока убеждений.

3.11.0.14 Fama–French

Модели Fama–French добавляют к рынку факторы size (SMB), value (HML) и в расширении profitability (RMW), investment (CMA). Объясняют сечение лучше, чем CAPM: малые и value-акции в среднем давали более высокую доходность.

Интерпретация: либо компенсация за риск, либо поведенческие искажения — курс даёт оба угла. В spanning-тестах FF — базовая модель; новые факторы (momentum) проверяют на α поверх FF.

3.11.0.15 Momentum

Momentum (фактор UMD — up minus down): акции, которые хорошо росли за последние 6–12 месяцев, в среднем продолжают обгонять проигравших на коротком горизонте. Классическая аномалия для слабой формы EMH, если считать окно публичным.

Стратегия даёт оборот и просадки при разворотах. Часто не spanning FF3 — значит, премия не сводится к size/value. На экзамене: momentum — cross-section, не то же самое, что предсказуемость агрегированного рынка.

3.11.0.16 Size premium

Size premium — наблюдение, что акции с малой капитализацией в среднем опережали крупные (SMB = small minus big). Возможные объяснения: компенсация за риск банкротства и ликвидности, или mispricing мелких имён.

В FF3 фактор SMB — лонг малые, шорт крупные в нейтрали по другим характеристикам. На экзамене не путайте size с β рынка: маленькая компания может иметь низкую рыночную β, но высокую нагрузку на SMB.

3.11.0.17 Cross section (сечение)

Cross section — сравнение многих активов в один момент времени: почему одни акции имеют более высокую ожидаемую доходность, чем другие. Здесь живут size, value, momentum, β в Fama–MacBeth.

Противопоставление: time series — один агрегированный рынок во времени (предсказуемость S&P по yield). Разные инструменты и разные выводы: рынок может быть слабо предсказуем в агрегате, но факторы в сечении — стабильны.

3.11.0.18 Time series (временной ряд)

Time series анализ — доходность одного портфеля или рынка во времени: R_t + 1 как функция прошлых сигналов x_t (yield, volatility, spread). Регрессия R_t + 1 = a + bx_t + ε_t + 1 — стандартный каркас.

b ≠ 0 может означать меняющуюся премию за риск, а не арбитраж. На экзамене отделяйте от cross-section факторов: dividend yield рынка ≠ HML в сечении акций.

3.11.0.19 HML (value)

HML (high minus low book-to-market) — value-фактор Fama–French: длинная позиция в акциях с высоким отношением балансовой стоимости к рыночной, короткая в «growth» с низким B/M.

Value historically опережал growth; интерпретации — distress risk, mispricing ожиданий или учёт неучтённых рисков. В регрессии доходности фонда коэффициент на HML показывает value-экспозицию (style analysis).

3.11.0.20 q5-модель

q5-модель (Hou, Xue, Zhang) — пять факторов с акцентом на profitability (ROE) и investment (рост активов), ближе к инвестиционной логике q-theory, чем классический FF5.

Идея: фирмы с высокой рентабельностью и умеренным инвестированием в среднем дают другую доходность, чем агрессивно разрастающиеся «growth». На экзамене достаточно знать, что это альтернатива FF по сечению, не выводить коэффициенты.

3.12 Формулы части 2

Факторная модель (сечение)

$$r_i^e = \alpha_i + \sum_{j=1}^{L} \beta_{ij} F_j + e_i$$

Строгая модель: факторы ортогональны; остатки e_i поперечно некоррелированы.

Бета актива (CAPM)

$$\beta_i = \frac{\mathrm{Cov}(R_i, R_m)}{\mathrm{Var}(R_m)}$$

Чувствительность доходности актива к рыночному портфелю.

Лог-доходность

$$r_t = \ln(1+R_t), \quad \ln\frac{P_T}{P_0} = \sum_{t=1}^{T} r_t$$

Аддитивна по времени; в портфеле по весам — простые R_t.

Предсказуемость (временной ряд)

R_t + 1 = a + b x_t + ε_t + 1

b = 0 — random walk; b ≠ 0 может быть time-varying risk premium.

Fama–MacBeth (кросс-секция)

r_i, t^e = γ_0t + γ_1t β̂_i + ⋯ + ε_i, t

Шаг 2: на каждой дате t оценивают премию за β; γ̄₁ — risk premium фактора.

Sharpe ratio

$$\text{Sharpe} = \frac{\bar{R} - R_f}{\sigma}$$

Премия на единицу общей волатильности; рынок США  ≈ 0.4 годовых.

CAPM (ожидаемая доходность)

E[R_i] − R_f = β_i (E[R_m]−R_f)

Оплачивается только систематический риск.

CAPM-регрессия (оценка α, β)

R_i, t^e = α_i + β_iR_m, t^e + ε_i, t

Jensen α — intercept; β_i — наклон.

DSSW (noise traders)

$$P_t = 1 + \frac{\mu_t}{1+R} + \frac{\rho_t}{R(1+R)}$$

μ_t — sentiment; ρ_t — поправка на риск арбитража.

→ Часть 3: Облигации

---

4 Часть 3. Гособлигации

Источник: ARM1_3_GovernmentBonds.pdf
Видео: Shiller Yale Lecture 10 — Term Structure — arm_videos.md

4.1 Zero-coupon и yield

Облигация срока n в t платит $1 в t + n:

$$ P_t^{(n)} = \frac{1}{(1+y)^{n}} $$

Пример: n = 2, y = 5.13% → P⁽²⁾ ≈ 0.905.

Yield ≠ holding period return. Yield — сравнение на момент покупки; realized return зависит от сдвига кривой.

4.2 Forward rates (gross yields)

Пусть Y_t⁽¹⁾, Y_t⁽²⁾ — gross one- and two-year yields (1 + y):

$$ F_t^{(2)} = \frac{(Y_t^{(2)})^2}{Y_t^{(1)}} $$

Y1 <- 1.020; Y2 <- 1.021
cat(sprintf("F^(2) = %.4f\n", Y2^2/Y1))

F^(2) = 1.0220

Экзамен: Y⁽¹⁾ = 1.020, Y⁽²⁾ = 1.021 → F⁽²⁾ ≈ 1.022.

4.3 Expectations hypothesis

Эквивалентно: длинная ставка = среднее ожидаемых коротких; forward = expected future spot. Вверх наклонная кривая → ожидание роста кратких ставок. На данных EH отвергается — term premium в форвардах.

4.4 Duration и ценовой риск

Модифицированная duration D: приблизительно ΔP/P ≈  − D Δy. Длинный срок и низкий купон → выше D → сильнее реакция на сдвиг кривой. Падение yield → рост цены (обратная связь).

4.5 Term premium

Term premium — доплата за длительность сверх того, что предсказывает expectations hypothesis. Если EH верна, forward = ожидаемая spot; на данных — нет: длинные облигации несут отдельную премию за риск сдвига кривой и инфляции.

4.6 Bond risk premia: Fama–Bliss / Cochrane–Piazzesi

r_{t, t + 1}^e(n) = γ₀ + γ₁(f_t⁽ⁿ⁾ − y_t⁽¹⁾) + u_t + 1

Пример: r^e = 1.25 ⋅ (f⁽³⁾−y⁽¹⁾), y⁽¹⁾ = 1.5%, f⁽³⁾ = 3.5%.

y1 <- 0.015; f3 <- 0.035
r_ex <- 1.25 * (f3 - y1)
cat(sprintf("Excess %.2f%%, total %.2f%%\n", 100*r_ex, 100*(y1+r_ex)))

Excess 2.50%, total 4.00%

→ excess 2.5%, total ≈ 4%.

4.6.1 Упражнения (часть 3)

Forward при Y⁽¹⁾ = 1.02, Y⁽²⁾ = 1.03 (gross):

1.03^2 / 1.02

[1] 1.040098

4.7 Глоссарий части 3

4.7.0.1 Zero-coupon

Zero-coupon облигация не платит купонов до погашения: один платёж 1 (или номинал) в срок n. Цена сегодня — дисконтированная стоимость единичного платежа:

$$P_t^{(n)} = \frac{1}{(1+y)^n}$$

где y — yield to maturity на момент покупки. Вся доходность — из изменения цены и приближения к погашению (pull to par). Базовый кирпич кривой доходности и форвардных ставок.

4.7.0.2 Yield (доходность к погашению)

Yield to maturity (YTM) — постоянная ставка y, при которой текущая цена равна приведённой стоимости всех будущих платежей облигации. Для zero-coupon это просто P = 1/(1+y)ⁿ.

Критично: yield на входе в позицию — не то же самое, что realized holding period return. Если кривая сдвинулась, фактическая доходность за период отличается от начального y. На экзамене различайте promised YTM и ex-post return.

4.7.0.3 Forward rate

Forward rate F_t⁽ⁿ⁾ — ставка, зафиксированная сегодня на будущий однопериодный займ, согласованная с ценами zero-coupon разных сроков (нет арбитража). В gross-обозначениях Y = 1 + y:

(Y_t⁽²⁾)² = Y_t⁽¹⁾ ⋅ F_t⁽²⁾

Интуиция: двухлетняя ставка должна совпадать с «один год сейчас + один год потом по форварду». Из кривой spot извлекают implied forwards.

4.7.0.4 Expectations hypothesis

Expectations hypothesis (EH): долгосрочная ставка — среднее ожидаемых будущих краткосрочных ставок (с поправкой на терминологию gross/net). Forward rate — несмещённый прогноз будущей spot rate.

На данных EH обычно отвергается: длинные облигации несут term premium — инвесторы требуют доплату за длительность сверх ожидаемого пути кратких ставок. Fama–Bliss показывает предсказуемость премии через спред форвардов.

4.7.0.5 Term premium

Term premium — дополнительная ожидаемая доходность (или скидка к ожиданию) за удержание длинной облигации сверх того, что предсказывает EH из кратких ставок. Отражает риск сдвига кривой, инфляции, ликвидности Treasuries.

Если term premium положителен, долгосрочные бумаги в среднем дают больше, чем «катание» кратких. В регрессиях Fama–Bliss избыточная доходность облигации связана со спредом f⁽ⁿ⁾ − y⁽¹⁾ — практический прокси премии.

4.7.0.6 Fama–Bliss

Fama–Bliss (1987) — эмпирика term structure: избыточная доходность облигации срока n предсказуема спредом между forward и текущей краткой ставкой:

r_{t, t + 1}^e(n) = γ₀ + γ₁(f_t⁽ⁿ⁾ − y_t⁽¹⁾) + ε_t + 1

Когда форвард выше spot, в среднем следует более высокая realized premium — отклонение от чистого EH. Cochrane–Piazzesi обобщают на линейную комбинацию форвардов разных сроков.

4.7.0.7 Кривая доходности

Кривая доходности — зависимость YTM (или spot) от срока погашения n. Нормальная (вверх) — длинные ставки выше кратких; инвертированная — краткие выше длинных, часто перед рецессией.

Форма кривой складывается из ожидаемого пути кратких ставок и term premium. Связь с макро: инфляция, политика ЦБ, спрос на safe assets. На экзамене: не путайте движение вдоль кривой и сдвиг всей кривой для duration.

4.7.0.8 Duration

Duration — мера чувствительности цены облигации к изменению доходности. При модифицированной duration приблизительно ΔP/P ≈  − D Δy: падение yield → рост цены (обратная связь).

Длиннее срок и ниже купон → выше duration → больше ценовой риск при сдвиге кривой. Duration связана с term premium и риском портфеля облигаций; для точного хеджа смотрят convexity.

4.8 Формулы части 3

Цена zero-coupon

$$P_t^{(n)} = \frac{1}{(1+y)^n}$$

y — yield to maturity на момент покупки.

Gross forward rate

$$(Y_t^{(2)})^2 = Y_t^{(1)} \cdot F_t^{(2)}, \quad F_t^{(2)} = \frac{(Y_t^{(2)})^2}{Y_t^{(1)}}$$

Y = 1 + y (gross yield). Экзамен: F = Y₂²/Y₁.

Expectations hypothesis

f_t⁽ⁿ⁾ ≈ E_t[y_t + n⁽¹⁾]

Forward ≈ ожидаемая будущая spot; на данных обычно отвергается (term premium).

Duration (ценовой риск)

$$\frac{\Delta P}{P} \approx -D_{\text{mod}}\,\Delta y$$

Падение yield → рост цены облигации.

Fama–Bliss

r_{t, t + 1}^e(n) = γ₀ + γ₁(f_t⁽ⁿ⁾ − y_t⁽¹⁾) + ε_t + 1

Спред форвардов предсказывает избыточную доходность облигации.

Holding period return облигации

$$R_{t\to t+1} = \frac{P_{t+1}^{(n-1)} - P_t^{(n)}}{P_t^{(n)}}$$

Realized return ≠ начальный YTM, если кривая сдвинулась.

→ Часть 4: Риски портфеля

---

5 Часть 4. Измерение и управление рисками портфеля

Источник: ARM1_4_PortfolioRisks.pdf

5.1 Зачем отделять risk management от PM

Разные функции, разные стимулы (PM как call option на upside), независимый риск-контроль. Risk manager смотрит на хвосты и лимиты; PM — на ожидаемую доходность. Конфликт интересов — типовой экзаменационный ответ.

5.2 Доходности и active weights

$$ R_t = \frac{P_t + CF_t}{P_{t-1}} - 1, \quad R_w = w'R, \quad R^e = R - R_f $$

Active return: R_p − R_B. Active weights: w_A = w − w_B, ∑w_A = 0 (доллар-нейтральное отклонение от бенчмарка).

5.3 Дисперсия портфеля

σ_w² = w′Cw

C — ковариационная матрица доходностей. Для тысяч активов оценка C шумная → factor models (C ≈ BΣ_FB′ + D) снижают число параметров.

5.4 Value at Risk

Pr (−R≥VaR) = α

При 95% confidence: с вероятностью 95% потеря < VaR; с 5% — ≥ VaR. VaR — порог, не средний убыток в хвосте.

FX пример: exposure €8m, 10-day σ = $0.565\% \times \sqrt{10}$, 95% VaR ≈ 1.65σ_10d → ~2.95% → €236,000.

exposure <- 8e6
sigma_h <- 0.00565 * sqrt(10)
var_eur <- exposure * 1.65 * sigma_h
format(round(var_eur), big.mark = ",")

[1] "235,843"

5.5 Два фактора и корреляция

$$ \text{VaR}_{\text{tot}} = \sqrt{\text{VaR}_1^2 + \text{VaR}_2^2 + 2\rho\,\text{VaR}_1\,\text{VaR}_2} $$

При ρ < 0 хедж снижает совокупный VaR.

5.6 Expected Shortfall (ES / CVaR)

ES = E[−R∣−R≥VaR]

Ожидаемый убыток если пробит VaR. Всегда ≥ VaR; sub-additive (в отличие от VaR в общем случае) — аргумент регуляторов (Basel).

r <- rt(1e5, df = 4) * 0.02
loss <- -r
var95 <- quantile(loss, 0.95)
es95 <- mean(loss[loss >= var95])
sprintf("VaR=%.3f%%, ES=%.3f%%", 100*var95, 100*es95)

[1] "VaR=4.298%, ES=6.470%"

5.7 Ковариация

σ_w² = w′Cw. Оценка C для тысяч активов — шумная; factor models уменьшают параметры.

5.7.1 Упражнения (часть 4)

1. ES vs VaR → ES > VaR.
   
2. ES — условное ожидание при… → пробитии VaR.
   
3. Зачем разделять RM и PM → конфликт интересов, независимый контроль.

5.8 Глоссарий части 4

5.8.0.1 VaR

Value at Risk (VaR) на уровне α — порог потерь, который не превышается с вероятностью 1 − α в заданном горизонте. Если R — доходность портфеля, смотрят на потерю  − R:

Pr (−R≥VaR_α) = α

Пример: VaR_5% = 2% — в 5% худших дней потеря не меньше 2% (знак конвенции уточняйте в задаче). VaR — квантиль хвоста, не средний убыток: два портфеля с одинаковым VaR могут иметь разную глубину катастроф дальше порога. Именно поэтому вводят Expected Shortfall.

5.8.0.2 Expected Shortfall (ES)

Expected Shortfall (ES), также CVaR — средний размер потери в тех сценариях, где убыток уже пробил VaR. Сначала задают VaR на уровне α (например, 5% худших дней):

Pr (−R≥VaR_α) = α

Затем ES спрашивает: «если мы попали в этот хвост, насколько плохо в среднем?»

ES_α = E[−R∣−R≥VaR_α]

Интуиция: VaR — порог «стены»; ES — средняя глубина ямы за стеной. Всегда ES_α ≥ VaR_α. Два портфеля с одинаковым VaR, но разным ES — у одного хвост толще; регуляторы (Basel III) сместились к ES, потому что VaR не субаддитивен и молчит о форме хвоста.

На экзамене: ES — про условное среднее в хвосте; не путать с дисперсией w^⊤Cw и не путать α здесь (уровень хвоста) с Jensen α.

5.8.0.3 Active return / weights

Active return — отклонение доходности портфеля от бенчмарка: R_p − R_B. Active weights w_A = w − w_B показывают, где менеджер перегрузил или недогрузил активы относительно индекса; сумма active weights равна нулю (доллар-нейтральное отклонение при тех же суммарных весах).

Положительная active return — цель активного управления; её разлагают на allocation и selection. Связь с tracking error: высокие active weights при том же C → больше риск отклонения от бенчмарка.

5.8.0.4 Ковариационная матрица

Ковариационная матрица C доходностей активов — сердце mean–variance и риска портфеля. Дисперсия портфеля с весами w:

σ_w² = w^⊤Cw

Диагональ C — дисперсии; внедиагональ — ковариации (корреляции масштабированы на σ_iσ_j). Factor models снижают размерность: C ≈ BΣ_FB^⊤ + D — проще оценивать и стабильнее в оптимизации.

VaR/ES смотрят на хвост распределения R; w^⊤Cw — про второй момент в гауссовой логике, не заменяет ES при толстых хвостах.

5.8.0.5 Risk management vs PM

Portfolio management и risk management — разные функции с разными стимулами. PM часто похож на long call: участвует в upside, бонус за доходность; risk manager ограничивает хвосты, VaR/ES, лимиты — «страховка» для фирмы.

Конфликт: PM хочет рисковать ради α, риск-офицер режет позиции перед кризисом. На экзамене: назовите асимметрию payoff и почему лимиты VaR/ES не заменяют здравый смысл (модельный риск, ликвидность).

5.9 Формулы части 4

Доходность портфеля

$$R_w = w' R, \quad R_t = \frac{P_t + CF_t}{P_{t-1}} - 1$$

Простые доходности; ∑w_i = 1.

Дисперсия портфеля

σ_w² = w′Cw

C — ковариационная матрица доходностей.

Ковариации через факторы

C ≈ BΣ_FB′ + D

Снижает число параметров при тысячах акций.

Value at Risk (определение)

Pr (−R≥VaR_α) = α

VaR — квантиль потерь, не средний хвост.

Parametric VaR (FX-пример)

VaR = z_1 − α σ_h × exposure

95%: z ≈ 1.65; $\sigma_h = \sigma_{\text{daily}}\sqrt{h}$ (напр. h = 10 дней).

Масштаб волатильности по горизонту

$$\sigma_h = \sigma_{\text{daily}}\sqrt{h}$$

i.i.d.: 10-day σ = daily $\times\sqrt{10}$.

Expected Shortfall (ES / CVaR)

ES_α = E[−R∣−R≥VaR_α]

Средний убыток при пробитии VaR; всегда ES ≥ VaR.

VaR двух факторов (корреляция)

$$\text{VaR}_{\text{tot}} = \sqrt{\text{VaR}_1^2 + \text{VaR}_2^2 + 2\rho\,\text{VaR}_1\,\text{VaR}_2}$$

ρ < 0 — хедж снижает совокупный риск.

Active return / weights

R_p − R_B,  w_A = w − w_B,  ∑w_A = 0

Active weights dollar-neutral относительно бенчмарка.

→ Часть 5: BSV и performance

---

6 Часть 5. Параметрические портфели и оценка результатов

Источники: ARM1_5_parametric_opt_performance_eval.pdf, ARM1_5_with_solutions_...pdf
Видео: Tidy Finance BSV tutorial — arm_videos.md

6.1 Проблема Markowitz

μ̂ нестабилен → экстремальные веса. Mean–variance максимизирует $\mu'w - \frac{\gamma}{2}w'Cw$, но малый шум в μ̂ даёт нереалистичные long/short.

6.2 Black–Litterman

Комбинирует equilibrium returns (из cap-weight и C) с views инвестора и доверием к ним. Веса менее экстремальны, чем у «голого» Markowitz. Альтернатива: shrinkage μ̂ к рыночному prior.

6.3 Style analysis (Sharpe)

Регрессия доходности фонда на стилевые индексы с ограничением весов  ≥ 0, сумма 1 — «теневой портфель» без данных о holdings. Отделяет factor tilts от заявленной α.

6.4 Brandt–Santa-Clara–Valkanov

$$ w_{i,t} = \bar w_{i,t} + \frac{\theta' x_{i,t}}{N_t} $$

• w̄_i, t — cap-weight benchmark
  
• x_i, t — standardized characteristics (size, B/M, momentum)
  
• θ — оценивается на max utility / Sharpe OOS

Смысл: веса параметрические, без прямой оценки μ_i для каждой акции.

6.5 Return-based performance

Метрика	Идея	Когда
Sharpe	(R̄−Rf)/σ	Total risk
Treynor	(R̄−Rf)/β	Diversified
Jensen α	intercept CAPM	После β
M²	scale to market σ	Sharpe в $

Годовой Sharpe из месячного: × $\sqrt{12}$ (i.i.d.).

Rf <- 0.02; Rm <- 0.10; Ra <- 0.12; beta <- 1.2
alpha <- Ra - Rf - beta * (Rm - Rf)
sprintf("Jensen alpha = %.1f%%", 100*alpha)

[1] "Jensen alpha = 0.4%"

6.6 Spanning и assignment

Jensen α фактора в q5 ≈ 0 → фактор priced q-моделью. α в CAPM значима → рынок не объясняет; FF3/FF5 повышают R², profitability/investment аномалии могут остаться.

6.7 Глоссарий части 5

6.7.0.1 BSV

Brandt–Santa-Clara–Valkanov (BSV) — parametric portfolio policy: веса линейно зависят от характеристик акций x_i, t (size, value, momentum и т.д.), а не от полной оценки μ̂ и огромной C как в Markowitz:

$$w_{i,t} = \bar{w}_{i,t} + \frac{\theta^\top x_{i,t}}{N_t}$$

w̄ — cap-weight бенчмарк, x_i, t стандартизованы, θ оценивают из данных. Меньше ошибка extreme weights от шумной μ̂; удобно для большого N.

6.7.0.2 Markowitz

Markowitz mean–variance — выбираем веса w, максимизируя $\mu^\top w - \frac{\gamma}{2} w^\top C w$. Красиво теоретически, хрупко на данных: оценки μ̂ шумные, малая ошибка в среднем → экстремальные веса и плохой out-of-sample Sharpe.

Поэтому на практике — ограничения, shrinkage, Black–Litterman, BSV. На экзамене: знать проблему μ̂, не только формулу frontier.

6.7.0.3 Black–Litterman

Black–Litterman комбинирует рыночное равновесие (implied returns из cap-weight и C) с субъективными views инвестора и явной неопределённостью views. Веса получаются менее экстремальными, чем у «голого» Markowitz с сырой μ̂.

Интуиция: доверяй рынку как prior, добавляй умеренные ставки («value перевесит growth на 2%») с доверительным интервалом. Альтернатива оптимизации без полного отказа от активных идей.

6.7.0.4 Treynor ratio

Treynor ratio — премия на единицу систематического риска (β), а не общей σ:

$$\text{Treynor} = \frac{\bar{R} - R_f}{\beta}$$

Имеет смысл для хорошо диверсифицированных портфелей, где idiosyncratic risk снят. Сравнение с Sharpe: Sharpe — total risk; Treynor — market risk. Фонд с высокой β может иметь низкий Treynor, даже если Sharpe приличный.

6.7.0.5 M²

M² (Modigliani–Modigliani) масштабирует волатильность портфеля до уровня рынка левериджем/де-левериджем и сравнивает доходность в «одинаковых единицах риска». Удобно объяснить инвестору: «если бы ваш фонд имел ту же σ, что S&P, вот сколько бы вы заработали».

Связано с Sharpe: ранжирование по M² эквивалентно ранжированию по Sharpe, но в процентах доходности, а не в безразмерном ratio.

6.7.0.6 Style analysis

Style analysis (William Sharpe) — регрессия доходности фонда на набор стилевых индексов (акции, облигации, value, growth) с ограничением весов  ≥ 0 и суммой 1. Получаем «теневой портфель» без раскрытия фактических holdings.

Помогает отделить β-стили от заявленной α. Ограничение long-only весов — ключ; без него fit слишком свободный.

6.8 Формулы части 5

Markowitz mean–variance

$$\max_w \; \mu'w - \frac{\gamma}{2}\,w'Cw$$

Чувствителен к ошибке μ̂ → экстремальные веса.

BSV веса

$$w_{i,t} = \bar{w}_{i,t} + \frac{\theta' x_{i,t}}{N_t}$$

x_i, t стандартизованы; w̄ — cap-weight бенчмарк.

Jensen’s α

α = R_a − R_f − β (R_m−R_f)

Сверхдоходность после учёта рыночной β.

Treynor ratio

$$\text{Treynor} = \frac{\bar{R} - R_f}{\beta}$$

Для хорошо диверсифицированных портфелей.

Годовой Sharpe из месячного

$$\text{Sharpe}_{\text{ann}} = \text{Sharpe}_{\text{m}} \times \sqrt{12}$$

При i.i.d. месячных доходностях.

M² (Modigliani–Modigliani)

$$R_{M^2} = R_f + \frac{\sigma_m}{\sigma_p}(R_p - R_f)$$

Масштабирует портфель до σ рынка; ранжирование как у Sharpe.

← Часть 4 | Полный глоссарий и формулы ниже ↓

---

7 Глоссарий курса

Полный список терминов (синхронизирован с квизом). Кликабельные подсказки — в интерактивной версии.

7.1 Глоссарий — часть 1

7.1.0.1 EMH

Efficient Market Hypothesis — идея, что цены активов уже отражают всю информацию, которую разумный инвестор может использовать для систематической сверхприбыли. Это не значит, что цены «правильные» в моральном смысле или что волатильность нулевая: премия за риск и ожидания меняются, но в слабой форме прошлые цены не дают бесплатного сигнала.

На курсе EMH — фон для всего остального: если рынок эффективен в нужном смысле, активное управление должно проигрывать индексу после комиссий; если нет — остаётся место для α, факторов и поведенческих моделей.

7.1.0.2 Слабая форма EMH

Слабая форма утверждает: история цен и объёмов не позволяет стабильно зарабатывать сверх E[R−R_f] после издержек. Технический анализ, «паттерны» на графике и торговля на прошлой доходности не дают преимущества в среднем.

Важная оговорка с лекции: отсутствие предсказуемости по прошлым ценам не означает постоянную доходность. Меняется премия за риск, дивидендный yield, волатильность — временной ряд рынка может быть предсказуем, и это ещё не нарушение слабой формы, если сигнал не в чистой цене вчера.

7.1.0.3 Сильная форма EMH

Сильная (и полусильная) форма говорит, что вся публичная информация — отчёты, новости, макро — уже в цене. Инсайдерская сильная форма добавляет даже приватную информацию; на практике её почти никто не защищает из‑за запрета инсайда.

Для экзамена: слабая — только история цен; полусильная/сильная — публичные фундаментальные данные. Аномалии вроде momentum или value после публикации факторов — предмет споров: рынок неэффективен или это компенсация за риск?

7.1.0.4 Equity risk premium (ERP)

Equity risk premium — ожидаемая избыточная доходность акций над безрисковой ставкой: E[R−R_f]. Это плата инвестору за то, что он держит рисковый актив, а не T-bill.

Оценить ERP точно трудно: выборка короткая, кризисы сдвигают среднее, режимы меняются. В модели CARA премия μ входит в числитель оптимальной доли w^*. На экзамене не путайте ERP рынка с премией отдельной акции в CAPM — там ещё множитель β.

7.1.0.5 Rf (безрисковая ставка)

Безрисковая ставка R_f — эталон «деньги под матрасом в финансовом смысле»: краткосрочные госбумаги США (T-bills). Все избыточные доходности считаются относительно неё: R^e = R − R_f.

На практике «безрисково» — условность: реинвестирование, валюта, инфляция. В формулах курса R_f — ставка на горизонт удержания; в CAPM и Jensen α она вычитается из доходности актива и рынка одинаково.

7.1.0.6 Ликвидность

Ликвидность — насколько быстро можно купить или продать актив большим объёмом, почти не двигая цену. Высокая ликвидность у крупных акций NYSE и у US Treasuries; низкая — у private equity, недвижимости, мелких бумаг.

Низкая ликвидность — отдельный риск и часть премии (illiquidity premium). В кризис ликвидность исчезает первой: спреды растут, маржинальные требования давят — это мост к спирали Brunnermeier–Pedersen.

7.1.0.7 w* (оптимальная доля)

Оптимальная доля w^* в рисковом активе при CARA-полезности и нормальных избыточных доходностях показывает, как агрегированный инвестор делит капитал между риском и безриском.

$$w^* = \frac{\mu}{A\sigma^2}$$

Здесь μ = E[R−R_f] — премия за риск, σ² — дисперсия избыточной доходности, A — коэффициент абсолютной неприязни к риску. Больше премия → больше w^*; больше волатильность или неприязнь → меньше доля в акциях. Модель учебная, но логика «риск–премия–отношение к риску» повторяется везде.

7.1.0.8 μ (премия за риск)

В обозначениях курса μ — ожидаемая избыточная доходность рискового актива: μ = E[R−R_f]. Это не общее матожидание доходности E[R], а именно премия над R_f.

μ стоит в числителе w^*: чем выше ожидаемая награда за риск, тем больше оптимальная доля в акциях. Ошибки оценки μ̂ в реальных портфелях — главная боль Markowitz; поэтому на практике часто якорятся к бенчмарку (BSV, Black–Litterman).

7.1.0.9 σ (волатильность)

σ — стандартное отклонение доходности (или избыточной доходности, если так задано в задаче). Это мера «разброса», не среднего убытка в хвосте.

В w^* входит σ² в знаменателе: при прочих равных более волатильный актив получает меньший вес. Sharpe ratio нормирует среднюю премию на σ. Для портфеля дисперсия — w^⊤Cw; VaR/ES смотрят на хвост, а не на σ напрямую.

7.1.0.10 A (неприязнь к риску)

Коэффициент A в CARA (constant absolute risk aversion) описывает, насколько инвестор «штрафует» дисперсию в полезности. Чем больше A, тем осторожнее человек при той же премии μ.

В формуле w^* неприязнь стоит в знаменателе вместе с σ²: осторожный инвестор держит меньше акций. На экзамене не путайте A с β актива: β — чувствительность к рынку; A — предпочтения инвестора.

7.1.0.11 Grossman–Stiglitz

Парадокс Grossman–Stiglitz: если рынок полностью информационно эффективен, никто не окупит затраты на сбор и анализ информации — значит, кто-то должен торговать на неполной информации, и полная эффективность невозможна в равновесии.

Вывод для курса: EMH — полезная крайность, а не буквальная правда. Есть место фондам, research и временным неэффективностям, но конкуренция за идеи съедает простые сигналы. Хороший ответ на экзамене связывает парадокс с активным vs пассивным управлением.

7.1.0.12 Спираль ликвидности

Модель Brunnermeier–Pedersen объясняет, почему в кризис цены падают ниже «фундамента». Loss spiral: убытки → принудительные продажи → ещё ниже цены → ещё убытки. Margin/haircut spiral: кредиторы ужесточают залог (выше haircut) → меньше плечо → распродажи → падение ликвидности.

Это не опровержение EMH в слабой форме навсегда, а механизм фрикций финансирования. На экзамене полезно назвать оба спиральных канала и связать с ликвидностью и кредитным плечом.

7.1.0.13 Активное / пассивное управление

Пассивное управление — держать рыночный индекс (часто cap-weighted): мало сделок, низкие fees, доходность ≈ индекс минус издержки. Активное — отклоняться от бенчмарка, чтобы заработать α; платите за research, turnover и часто проигрываете после fees.

Арифметика простая: средний активный инвестор до fees = рынок; после fees — ниже. Выигрывают те, кто систематически даёт положительную active return R_p − R_B. Связь с EMH: если рынок эффективен, пассивный индекс — разумный default.

7.2 Глоссарий — часть 2

7.2.0.1 Лог-доходность

Лог-доходность r_t = ln (1+R_t) удобна во временных рядах: она аддитивна по времени. Накопленная доходность за период — сумма лог-доходностей: $\ln(P_T/P_0) = \sum_{t=1}^T r_t$.

В портфеле на один период по-прежнему используют простые доходности R_t и веса w_i — лог нельзя просто взвесить как линейную комбинацию доходностей активов. На экзамене частый вопрос: когда складываем r_t, когда считаем 1 + R.

7.2.0.2 Random walk

В регрессии предсказуемости R_t + 1 = a + b x_t + ε_t + 1 гипотеза random walk (в слабом смысле) — что прошлый сигнал x_t не помогает: b = 0. Тогда лучший прогноз следующей доходности — константа (часто средняя премия).

Отклонение b ≠ 0 не доказывает «лёгкие деньги»: сигнал может отражать time-varying risk premium (Campbell–Shiller), а не арбитраж. Различайте random walk цены и предсказуемость премии.

7.2.0.3 Campbell–Shiller

Разложение Campbell–Shiller: неожиданная доходность акций складывается из новостей о будущих денежных потоках (дивиденды, buybacks) и новостей о ставках дисконтирования. Если yield высокий, часто это либо низкая цена при тех же дивидендах, либо рынок требует большую премию.

Практический вывод: предсказуемость по dividend yield не равна неэффективности — меняется ожидаемая доходность, а не «ошибка» цены. На экзамене свяжите с EH на облигациях: похожая логика discount rate vs cash flow.

7.2.0.4 Dividend yield

Dividend yield — отношение дивидендов к цене акции (часто за год). Высокий начальный yield исторически связан с более высокой средней будущей реальной доходностью на длинном горизонте — но связь шумная и режимно-зависимая.

В Campbell–Shiller yield — один из сигналов x_t в регрессии предсказуемости. Не путайте с купонной доходностью облигации: у акций поток не фиксирован, дивиденды режут и наращивают.

7.2.0.5 Факторная модель

Факторная модель объясняет избыточную доходность актива i через общие факторы F_j и idiosyncratic остаток e_i:

$$r_i^e = \alpha_i + \sum_{j=1}^{L} \beta_{ij} F_j + e_i$$

В строгой постановке курса факторы ортогональны, а остатки e_i поперечно некоррелированы — тогда диверсификация снимает idiosyncratic risk. β_ij — нагрузки; α_i — то, что факторы не объяснили (кандидат на аномалию или миск pricing). APT и Fama–MacBeth опираются на эту структуру.

7.2.0.6 Fama–MacBeth

Двухшаговая процедура Fama–MacBeth оценивает премии за факторы без предположения о стационарности β каждой акции на всей выборке.

Шаг 1: для каждой акции i временная регрессия r_i, t^e на факторы → оценки β̂_i. Шаг 2: на каждой дате t кросс-секционная регрессия r_i, t^e на β̂_i → коэффициенты γ̂_t. Шаг 3: среднее γ̄ по времени — оценка премии за фактор с Fama–MacBeth standard errors.

Интуиция: сначала «кто чувствителен к фактору», потом «платят ли рынки за эту чувствительность сегодня».

7.2.0.7 APT

Arbitrage Pricing Theory (Ross): при достаточном числе факторов хорошо диверсифицированный портфель не несёт idiosyncratic risk; ожидаемая доходность — линейная функция factor loadings. В отличие от CAPM, не требует одного «рыночного» портфеля и квадратичной полезности — достаточно отсутствия арбитража.

На экзамене: APT — многofакторное ожидание без жёсткой истории mean–variance; CAPM — частный случай с одним фактором R_m − R_f. Оба связаны с β и премиями λ_j.

7.2.0.8 Spanning

Spanning-тест спрашивает: объясняет ли известная модель (CAPM, Fama–French 3/5) доходность нового фактора или стратегии? Регрессируете доходность кандидата на доходности факторов базовой модели; значимый intercept α → фактор не «поглощён» моделью — несёт отдельную премию.

Пример: momentum UMD часто даёт α поверх FF3 — значит, value и size не spanning momentum. Для экзамена: spanning — про вложенность информации, не про causality.

7.2.0.9 Sharpe ratio

Sharpe ratio — доходность на единицу общего риска (волатильности):

$$\text{Sharpe} = \frac{\bar{R} - R_f}{\sigma}$$

Чем выше Sharpe, тем больше премия за каждый процент σ. Исторически рынок акций США даёт Sharpe порядка 0.3–0.5 в годовых терминах (зависит от выборки).

Из месячных данных при i.i.d. годовой Sharpe ≈ месячный $\times \sqrt{12}$. Sharpe сравнивает портфели с разной волатильностью; Treynor — для диверсифицированных портфелей с фокусом на β.

7.2.0.10 β (бета)

β — чувствительность доходности актива к фактору. В CAPM β_i = Cov(R_i,R_m)/Var(R_m): на сколько процентов в среднем движется акция, когда рынок движется на 1%.

В многофакторной модели у актива несколько β_ij — по одному на фактор F_j. На первом шаге Fama–MacBeth β_i оценивают по времени для каждой акции. Высокая β → больше систематического риска → в CAPM требуется большая ожидаемая премия.

7.2.0.11 α (альфа)

α — сверхдоходность, которую модель не объяснила: intercept в регрессии r_i^e на факторы или рынок. Положительная Jensen α — фонд обогнал CAPM после учёта β; отрицательная — недобрал.

В факторной модели α_i у отдельной акции на длинной выборке должен быть ≈0 в эффективном рынке; у стратегии или фонда устойчивая α — признак skill или неучтённого риска. Не путайте α в регрессии с буквой α уровня VaR (там это хвостовая вероятность).

7.2.0.12 CAPM

Capital Asset Pricing Model связывает ожидаемую премию актива с его рыночной β:

E[R_i] − R_f = β_i (E[R_m]−R_f)

Идея: только систематический риск (корреляция с рынком) оплачивается; idiosyncratic risk диверсифицируется. Рыночный портфель — tangency portfolio при допущениях модели.

На данных CAPM слаб для сечения (size, value); используют как benchmark и для Jensen α. Экзамен: знать формулу, роль β, отличие от APT/FF.

7.2.0.13 DSSW (noise traders)

Модель De Long, Shleifer, Summers, Waldmann (DSSW): на рынке есть рациональные арбитражёры и noise traders с ошибочными ожиданиями (sentiment). Арбитраж ограничен: рискованно ставить против толпы, пока sentiment не развернётся.

Цена может отклоняться от фундамента; noise traders иногда зарабатывают больше в коротком горизонте, «сдвигая риск» на арбитражёров. Формула цены связывает P_t с μ_t (sentiment) и поправкой на риск ρ_t. Связь с EMH: даже без новой информации цена движется из‑за потока убеждений.

7.2.0.14 Fama–French

Модели Fama–French добавляют к рынку факторы size (SMB), value (HML) и в расширении profitability (RMW), investment (CMA). Объясняют сечение лучше, чем CAPM: малые и value-акции в среднем давали более высокую доходность.

Интерпретация: либо компенсация за риск, либо поведенческие искажения — курс даёт оба угла. В spanning-тестах FF — базовая модель; новые факторы (momentum) проверяют на α поверх FF.

7.2.0.15 Momentum

Momentum (фактор UMD — up minus down): акции, которые хорошо росли за последние 6–12 месяцев, в среднем продолжают обгонять проигравших на коротком горизонте. Классическая аномалия для слабой формы EMH, если считать окно публичным.

Стратегия даёт оборот и просадки при разворотах. Часто не spanning FF3 — значит, премия не сводится к size/value. На экзамене: momentum — cross-section, не то же самое, что предсказуемость агрегированного рынка.

7.2.0.16 Size premium

Size premium — наблюдение, что акции с малой капитализацией в среднем опережали крупные (SMB = small minus big). Возможные объяснения: компенсация за риск банкротства и ликвидности, или mispricing мелких имён.

В FF3 фактор SMB — лонг малые, шорт крупные в нейтрали по другим характеристикам. На экзамене не путайте size с β рынка: маленькая компания может иметь низкую рыночную β, но высокую нагрузку на SMB.

7.2.0.17 Cross section (сечение)

Cross section — сравнение многих активов в один момент времени: почему одни акции имеют более высокую ожидаемую доходность, чем другие. Здесь живут size, value, momentum, β в Fama–MacBeth.

Противопоставление: time series — один агрегированный рынок во времени (предсказуемость S&P по yield). Разные инструменты и разные выводы: рынок может быть слабо предсказуем в агрегате, но факторы в сечении — стабильны.

7.2.0.18 Time series (временной ряд)

Time series анализ — доходность одного портфеля или рынка во времени: R_t + 1 как функция прошлых сигналов x_t (yield, volatility, spread). Регрессия R_t + 1 = a + bx_t + ε_t + 1 — стандартный каркас.

b ≠ 0 может означать меняющуюся премию за риск, а не арбитраж. На экзамене отделяйте от cross-section факторов: dividend yield рынка ≠ HML в сечении акций.

7.2.0.19 HML (value)

HML (high minus low book-to-market) — value-фактор Fama–French: длинная позиция в акциях с высоким отношением балансовой стоимости к рыночной, короткая в «growth» с низким B/M.

Value historically опережал growth; интерпретации — distress risk, mispricing ожиданий или учёт неучтённых рисков. В регрессии доходности фонда коэффициент на HML показывает value-экспозицию (style analysis).

7.2.0.20 q5-модель

q5-модель (Hou, Xue, Zhang) — пять факторов с акцентом на profitability (ROE) и investment (рост активов), ближе к инвестиционной логике q-theory, чем классический FF5.

Идея: фирмы с высокой рентабельностью и умеренным инвестированием в среднем дают другую доходность, чем агрессивно разрастающиеся «growth». На экзамене достаточно знать, что это альтернатива FF по сечению, не выводить коэффициенты.

7.3 Глоссарий — часть 3

7.3.0.1 Zero-coupon

Zero-coupon облигация не платит купонов до погашения: один платёж 1 (или номинал) в срок n. Цена сегодня — дисконтированная стоимость единичного платежа:

$$P_t^{(n)} = \frac{1}{(1+y)^n}$$

где y — yield to maturity на момент покупки. Вся доходность — из изменения цены и приближения к погашению (pull to par). Базовый кирпич кривой доходности и форвардных ставок.

7.3.0.2 Yield (доходность к погашению)

Yield to maturity (YTM) — постоянная ставка y, при которой текущая цена равна приведённой стоимости всех будущих платежей облигации. Для zero-coupon это просто P = 1/(1+y)ⁿ.

Критично: yield на входе в позицию — не то же самое, что realized holding period return. Если кривая сдвинулась, фактическая доходность за период отличается от начального y. На экзамене различайте promised YTM и ex-post return.

7.3.0.3 Forward rate

Forward rate F_t⁽ⁿ⁾ — ставка, зафиксированная сегодня на будущий однопериодный займ, согласованная с ценами zero-coupon разных сроков (нет арбитража). В gross-обозначениях Y = 1 + y:

(Y_t⁽²⁾)² = Y_t⁽¹⁾ ⋅ F_t⁽²⁾

Интуиция: двухлетняя ставка должна совпадать с «один год сейчас + один год потом по форварду». Из кривой spot извлекают implied forwards.

7.3.0.4 Expectations hypothesis

Expectations hypothesis (EH): долгосрочная ставка — среднее ожидаемых будущих краткосрочных ставок (с поправкой на терминологию gross/net). Forward rate — несмещённый прогноз будущей spot rate.

На данных EH обычно отвергается: длинные облигации несут term premium — инвесторы требуют доплату за длительность сверх ожидаемого пути кратких ставок. Fama–Bliss показывает предсказуемость премии через спред форвардов.

7.3.0.5 Term premium

Term premium — дополнительная ожидаемая доходность (или скидка к ожиданию) за удержание длинной облигации сверх того, что предсказывает EH из кратких ставок. Отражает риск сдвига кривой, инфляции, ликвидности Treasuries.

Если term premium положителен, долгосрочные бумаги в среднем дают больше, чем «катание» кратких. В регрессиях Fama–Bliss избыточная доходность облигации связана со спредом f⁽ⁿ⁾ − y⁽¹⁾ — практический прокси премии.

7.3.0.6 Fama–Bliss

Fama–Bliss (1987) — эмпирика term structure: избыточная доходность облигации срока n предсказуема спредом между forward и текущей краткой ставкой:

r_{t, t + 1}^e(n) = γ₀ + γ₁(f_t⁽ⁿ⁾ − y_t⁽¹⁾) + ε_t + 1

Когда форвард выше spot, в среднем следует более высокая realized premium — отклонение от чистого EH. Cochrane–Piazzesi обобщают на линейную комбинацию форвардов разных сроков.

7.3.0.7 Кривая доходности

Кривая доходности — зависимость YTM (или spot) от срока погашения n. Нормальная (вверх) — длинные ставки выше кратких; инвертированная — краткие выше длинных, часто перед рецессией.

Форма кривой складывается из ожидаемого пути кратких ставок и term premium. Связь с макро: инфляция, политика ЦБ, спрос на safe assets. На экзамене: не путайте движение вдоль кривой и сдвиг всей кривой для duration.

7.3.0.8 Duration

Duration — мера чувствительности цены облигации к изменению доходности. При модифицированной duration приблизительно ΔP/P ≈  − D Δy: падение yield → рост цены (обратная связь).

Длиннее срок и ниже купон → выше duration → больше ценовой риск при сдвиге кривой. Duration связана с term premium и риском портфеля облигаций; для точного хеджа смотрят convexity.

7.4 Глоссарий — часть 4

7.4.0.1 VaR

Value at Risk (VaR) на уровне α — порог потерь, который не превышается с вероятностью 1 − α в заданном горизонте. Если R — доходность портфеля, смотрят на потерю  − R:

Pr (−R≥VaR_α) = α

Пример: VaR_5% = 2% — в 5% худших дней потеря не меньше 2% (знак конвенции уточняйте в задаче). VaR — квантиль хвоста, не средний убыток: два портфеля с одинаковым VaR могут иметь разную глубину катастроф дальше порога. Именно поэтому вводят Expected Shortfall.

7.4.0.2 Expected Shortfall (ES)

Expected Shortfall (ES), также CVaR — средний размер потери в тех сценариях, где убыток уже пробил VaR. Сначала задают VaR на уровне α (например, 5% худших дней):

Pr (−R≥VaR_α) = α

Затем ES спрашивает: «если мы попали в этот хвост, насколько плохо в среднем?»

ES_α = E[−R∣−R≥VaR_α]

Интуиция: VaR — порог «стены»; ES — средняя глубина ямы за стеной. Всегда ES_α ≥ VaR_α. Два портфеля с одинаковым VaR, но разным ES — у одного хвост толще; регуляторы (Basel III) сместились к ES, потому что VaR не субаддитивен и молчит о форме хвоста.

На экзамене: ES — про условное среднее в хвосте; не путать с дисперсией w^⊤Cw и не путать α здесь (уровень хвоста) с Jensen α.

7.4.0.3 Active return / weights

Active return — отклонение доходности портфеля от бенчмарка: R_p − R_B. Active weights w_A = w − w_B показывают, где менеджер перегрузил или недогрузил активы относительно индекса; сумма active weights равна нулю (доллар-нейтральное отклонение при тех же суммарных весах).

Положительная active return — цель активного управления; её разлагают на allocation и selection. Связь с tracking error: высокие active weights при том же C → больше риск отклонения от бенчмарка.

7.4.0.4 Ковариационная матрица

Ковариационная матрица C доходностей активов — сердце mean–variance и риска портфеля. Дисперсия портфеля с весами w:

σ_w² = w^⊤Cw

Диагональ C — дисперсии; внедиагональ — ковариации (корреляции масштабированы на σ_iσ_j). Factor models снижают размерность: C ≈ BΣ_FB^⊤ + D — проще оценивать и стабильнее в оптимизации.

VaR/ES смотрят на хвост распределения R; w^⊤Cw — про второй момент в гауссовой логике, не заменяет ES при толстых хвостах.

7.4.0.5 Risk management vs PM

Portfolio management и risk management — разные функции с разными стимулами. PM часто похож на long call: участвует в upside, бонус за доходность; risk manager ограничивает хвосты, VaR/ES, лимиты — «страховка» для фирмы.

Конфликт: PM хочет рисковать ради α, риск-офицер режет позиции перед кризисом. На экзамене: назовите асимметрию payoff и почему лимиты VaR/ES не заменяют здравый смысл (модельный риск, ликвидность).

7.5 Глоссарий — часть 5

7.5.0.1 BSV

Brandt–Santa-Clara–Valkanov (BSV) — parametric portfolio policy: веса линейно зависят от характеристик акций x_i, t (size, value, momentum и т.д.), а не от полной оценки μ̂ и огромной C как в Markowitz:

$$w_{i,t} = \bar{w}_{i,t} + \frac{\theta^\top x_{i,t}}{N_t}$$

w̄ — cap-weight бенчмарк, x_i, t стандартизованы, θ оценивают из данных. Меньше ошибка extreme weights от шумной μ̂; удобно для большого N.

7.5.0.2 Markowitz

Markowitz mean–variance — выбираем веса w, максимизируя $\mu^\top w - \frac{\gamma}{2} w^\top C w$. Красиво теоретически, хрупко на данных: оценки μ̂ шумные, малая ошибка в среднем → экстремальные веса и плохой out-of-sample Sharpe.

Поэтому на практике — ограничения, shrinkage, Black–Litterman, BSV. На экзамене: знать проблему μ̂, не только формулу frontier.

7.5.0.3 Black–Litterman

Black–Litterman комбинирует рыночное равновесие (implied returns из cap-weight и C) с субъективными views инвестора и явной неопределённостью views. Веса получаются менее экстремальными, чем у «голого» Markowitz с сырой μ̂.

Интуиция: доверяй рынку как prior, добавляй умеренные ставки («value перевесит growth на 2%») с доверительным интервалом. Альтернатива оптимизации без полного отказа от активных идей.

7.5.0.4 Treynor ratio

Treynor ratio — премия на единицу систематического риска (β), а не общей σ:

$$\text{Treynor} = \frac{\bar{R} - R_f}{\beta}$$

Имеет смысл для хорошо диверсифицированных портфелей, где idiosyncratic risk снят. Сравнение с Sharpe: Sharpe — total risk; Treynor — market risk. Фонд с высокой β может иметь низкий Treynor, даже если Sharpe приличный.

7.5.0.5 M²

M² (Modigliani–Modigliani) масштабирует волатильность портфеля до уровня рынка левериджем/де-левериджем и сравнивает доходность в «одинаковых единицах риска». Удобно объяснить инвестору: «если бы ваш фонд имел ту же σ, что S&P, вот сколько бы вы заработали».

Связано с Sharpe: ранжирование по M² эквивалентно ранжированию по Sharpe, но в процентах доходности, а не в безразмерном ratio.

7.5.0.6 Style analysis

Style analysis (William Sharpe) — регрессия доходности фонда на набор стилевых индексов (акции, облигации, value, growth) с ограничением весов  ≥ 0 и суммой 1. Получаем «теневой портфель» без раскрытия фактических holdings.

Помогает отделить β-стили от заявленной α. Ограничение long-only весов — ключ; без него fit слишком свободный.

---

8 Справочник формул

Все ключевые формулы курса (20 записей, 5 частей).

8.1 Формулы — часть 1: Фон и эффективность рынка

Оптимальная доля в рисковом активе (CARA)

$$w^* = \frac{\mu}{A\sigma^2}$$

μ = E[R−R_f] — премия; A — неприязнь к риску; σ — волатильность избыточной доходности.

Избыточная доходность

R^e = R − R_f

Доходность над безрисковой ставкой R_f (T-bills).

Equity risk premium (ERP)

ERP = E[R−R_f]

Ожидаемая премия рынка акций; на практике оценивается с большой неопределённостью.

8.2 Формулы — часть 2: Акции

Факторная модель (сечение)

$$r_i^e = \alpha_i + \sum_{j=1}^{L} \beta_{ij} F_j + e_i$$

Строгая модель: факторы ортогональны; остатки e_i поперечно некоррелированы.

Бета актива (CAPM)

$$\beta_i = \frac{\mathrm{Cov}(R_i, R_m)}{\mathrm{Var}(R_m)}$$

Чувствительность доходности актива к рыночному портфелю.

Лог-доходность

$$r_t = \ln(1+R_t), \quad \ln\frac{P_T}{P_0} = \sum_{t=1}^{T} r_t$$

Аддитивна по времени; в портфеле по весам — простые R_t.

Предсказуемость (временной ряд)

R_t + 1 = a + b x_t + ε_t + 1

b = 0 — random walk; b ≠ 0 может быть time-varying risk premium.

Fama–MacBeth (кросс-секция)

r_i, t^e = γ_0t + γ_1t β̂_i + ⋯ + ε_i, t

Шаг 2: на каждой дате t оценивают премию за β; γ̄₁ — risk premium фактора.

Sharpe ratio

$$\text{Sharpe} = \frac{\bar{R} - R_f}{\sigma}$$

Премия на единицу общей волатильности; рынок США  ≈ 0.4 годовых.

CAPM (ожидаемая доходность)

E[R_i] − R_f = β_i (E[R_m]−R_f)

Оплачивается только систематический риск.

CAPM-регрессия (оценка α, β)

R_i, t^e = α_i + β_iR_m, t^e + ε_i, t

Jensen α — intercept; β_i — наклон.

DSSW (noise traders)

$$P_t = 1 + \frac{\mu_t}{1+R} + \frac{\rho_t}{R(1+R)}$$

μ_t — sentiment; ρ_t — поправка на риск арбитража.

8.3 Формулы — часть 3: Гособлигации

Цена zero-coupon

$$P_t^{(n)} = \frac{1}{(1+y)^n}$$

y — yield to maturity на момент покупки.

Gross forward rate

$$(Y_t^{(2)})^2 = Y_t^{(1)} \cdot F_t^{(2)}, \quad F_t^{(2)} = \frac{(Y_t^{(2)})^2}{Y_t^{(1)}}$$

Y = 1 + y (gross yield). Экзамен: F = Y₂²/Y₁.

Expectations hypothesis

f_t⁽ⁿ⁾ ≈ E_t[y_t + n⁽¹⁾]

Forward ≈ ожидаемая будущая spot; на данных обычно отвергается (term premium).

Duration (ценовой риск)

$$\frac{\Delta P}{P} \approx -D_{\text{mod}}\,\Delta y$$

Падение yield → рост цены облигации.

Fama–Bliss

r_{t, t + 1}^e(n) = γ₀ + γ₁(f_t⁽ⁿ⁾ − y_t⁽¹⁾) + ε_t + 1

Спред форвардов предсказывает избыточную доходность облигации.

Holding period return облигации

$$R_{t\to t+1} = \frac{P_{t+1}^{(n-1)} - P_t^{(n)}}{P_t^{(n)}}$$

Realized return ≠ начальный YTM, если кривая сдвинулась.

8.4 Формулы — часть 4: Риски портфеля

Доходность портфеля

$$R_w = w' R, \quad R_t = \frac{P_t + CF_t}{P_{t-1}} - 1$$

Простые доходности; ∑w_i = 1.

Дисперсия портфеля

σ_w² = w′Cw

C — ковариационная матрица доходностей.

Ковариации через факторы

C ≈ BΣ_FB′ + D

Снижает число параметров при тысячах акций.

Value at Risk (определение)

Pr (−R≥VaR_α) = α

VaR — квантиль потерь, не средний хвост.

Parametric VaR (FX-пример)

VaR = z_1 − α σ_h × exposure

95%: z ≈ 1.65; $\sigma_h = \sigma_{\text{daily}}\sqrt{h}$ (напр. h = 10 дней).

Масштаб волатильности по горизонту

$$\sigma_h = \sigma_{\text{daily}}\sqrt{h}$$

i.i.d.: 10-day σ = daily $\times\sqrt{10}$.

Expected Shortfall (ES / CVaR)

ES_α = E[−R∣−R≥VaR_α]

Средний убыток при пробитии VaR; всегда ES ≥ VaR.

VaR двух факторов (корреляция)

$$\text{VaR}_{\text{tot}} = \sqrt{\text{VaR}_1^2 + \text{VaR}_2^2 + 2\rho\,\text{VaR}_1\,\text{VaR}_2}$$

ρ < 0 — хедж снижает совокупный риск.

Active return / weights

R_p − R_B,  w_A = w − w_B,  ∑w_A = 0

Active weights dollar-neutral относительно бенчмарка.

8.5 Формулы — часть 5: BSV и performance

Markowitz mean–variance

$$\max_w \; \mu'w - \frac{\gamma}{2}\,w'Cw$$

Чувствителен к ошибке μ̂ → экстремальные веса.

BSV веса

$$w_{i,t} = \bar{w}_{i,t} + \frac{\theta' x_{i,t}}{N_t}$$

x_i, t стандартизованы; w̄ — cap-weight бенчмарк.

Jensen’s α

α = R_a − R_f − β (R_m−R_f)

Сверхдоходность после учёта рыночной β.

Treynor ratio

$$\text{Treynor} = \frac{\bar{R} - R_f}{\beta}$$

Для хорошо диверсифицированных портфелей.

Годовой Sharpe из месячного

$$\text{Sharpe}_{\text{ann}} = \text{Sharpe}_{\text{m}} \times \sqrt{12}$$

При i.i.d. месячных доходностях.

M² (Modigliani–Modigliani)

$$R_{M^2} = R_f + \frac{\sigma_m}{\sigma_p}(R_p - R_f)$$

Масштабирует портфель до σ рынка; ранжирование как у Sharpe.

---

9 Шпаргалка

#	Вопрос	Ответ
1	Ликвидность акций	Высокая
2	Ликвидность Treasuries	Высокая
3	Высокий σ → низкий return?	Нет
4	ERP ±20 bps?	Нет
5	Log returns	Линейно по времени
6	ES vs VaR	ES = mean loss beyond VaR
7	Forward (gross)	F = Y22/Y1
8	Fama–Bliss	excess = γ × spread
9	Fama–MacBeth	N TS → T CS → mean γ
10	Strict factor model	residuals uncorrelated
11	Dividend yield	+ predictor long horizon
12	Liquidity spiral	funding → delever → prices
13	w* 4%, 20%, A=2	50%
14	Campbell–Shiller	unexpected r ↔︎ CF & discount news

---

10 Связанные файлы

Файл	Назначение
arm_exam_prep.Rmd	Короткий конспект ~12 стр.
arm_audio_script.md	Текст для TTS / прогулки
arm_videos.md	YouTube и лекции по темам
ARM1_1 … ARM1_5	Официальные слайды
arm1.koveh.com/quizzes	Квиз, словарь, формулы

Сборка: Rscript -e 'rmarkdown::render("arm_textbook.Rmd")' в этой папке.