ARM I | Квиз (150) Формулы Все файлы Краткий конспект Google Drive

# Asset and Risk Management I

### Учебник по курсу WU 5578

#### Group 20 — конспект для экзамена и аудио

#### 12 June 2026

# 1 Как пользоваться учебником

Это полная версия материала к экзамену 12 июня 2026, 14:00–16:00 (closed-book, TC.2.01). Пять частей повторяют лекции `ARM1_1` … `ARM1_5` в этой папке. Короткий конспект на ~12 страниц — `arm_exam_prep.Rmd`. Аудио для прогулки — `arm_audio_script.md` (чистый текст без кода). Видео — `arm_videos.md`.

Стиль: длинные абзацы, сначала суть, потом формулы и R. Картинки из слайдов — плейсхолдеры `<!-- [ГРАФИК] -->`; при необходимости вставь скриншоты из PDF.

Навигация: Часть 1 → Часть 2 → Часть 3 → Часть 4 → Часть 5 → Глоссарий → Формулы → Шпаргалка

Интерактив: на arm1.koveh.com/quizzes — 150 вопросов, кликабельный словарь (52 термина) и панель формул. Ниже в учебнике те же определения и формулы встроены по частям и в полном виде.

## 1.1 Карта тем (5 частей = ARM1_1 … ARM1_5)

Часть | PDF | Главные темы
--- | --- | ---
1 | `ARM1_1` | Классы активов, ликвидность, ERP, w*, EMH (слабая/сильная), Grossman–Stiglitz, актив vs пассив, спираль ликвидности
2 | `ARM1_2`, `ARM1_3` | Стилизованные факты, log returns, предсказуемость, Campbell–Shiller, факторные модели, Fama–MacBeth, APT, CAPM, FF3/FF5, momentum, spanning, DSSW
3 | `ARM1_3_GovernmentBonds` | Zero-coupon, YTM, forward rates, EH, term premium, Fama–Bliss, duration, кривая доходности
4 | `ARM1_4` | Rw, active return/weights, w′C w, VaR, ES, два фактора + ρ, risk management vs PM
5 | `ARM1_5` | Markowitz, Black–Litterman, BSV, Sharpe/Treynor/Jensen/M², style analysis, spanning assignment

# 2 Часть 1. Институциональный фон и эффективность рынка

Источник: `ARM1_1_course_background_efficiency.pdf`
Видео: MIT Lo Efficient Markets I–III; Cochrane Discount Rates — см. `arm_videos.md`

## 2.1 Зачем курс начинается с институций

Прежде чем считать беты и VaR, курс задаёт рамку: кто владеет активами, какие классы существуют, где ликвидность высокая, а где инвестор платит премию за невозможность быстро выйти. Это не «введение ради введения» — на экзамене из этого блока идут вопросы без калькулятора: ликвидность Treasuries, иллюзия точной оценки equity risk premium, цепочка спирали ликвидности Brunnermeier–Pedersen, выбор между активным и пассивным управлением.

Институциональные инвесторы — пенсионные фонды, страховщики, суверенные фонды — держат долгие горизонты и ограничения по регуляторике. Частные инвесторы чаще переоценивают свою способность «обойти рынок». Курс не требует знать названия всех регуляторов, но требует понимать: ликвидность и издержки определяют, реалистична ли стратегия.

## 2.2 Классы активов и ликвидность

Класс | Ликвидность (типично) | Экзаменная мысль
--- | --- | ---
Listed equity | Высокая на крупных биржах | Быстрый вход/выход без сильного price impact
Government bonds (US Treasuries) | Высокая | Бенчмарк, залог, низкий кредитный риск
Corporate bonds | Средняя–высокая (зависит от рейтинга) | Спред за кредитный риск
Private equity, недвижимость | Низкая | Illiquidity premium
T-bills | Очень высокая | Почти безрисковая Rf

Ловушка на квизе: «Чем выше риск (σ), тем ниже доходность» — ложь. Работает risk–return tradeoff: больше систематического риска в среднем компенсируется большей ожидаемой премией. Формулировка «всегда ниже» неверна.

Вторая ловушка: ERP можно оценить с точностью ±20 bps. Нет. Длинная выборка, regime shifts, кризисы — доверительный интервал широкий. Средняя избыточная доходность рынка США порядка 8% годовых при σ ≈ 20%, но «истинное» число на десятилетия вперёд неизвестно.

## 2.3 Оптимальная доля рискового актива (CARA / mean-variance)

Инвестор с постоянной абсолютной неприязнью к риску (CARA) в классической mean-variance задаче держит в рисковом активе долю:

$$ w^* = \frac{\mu}{\sigma^2 A} $$

где μ=E[R−Rf] — премия за риск, σ — волатильность избыточной доходности, A — коэффициент неприязни к риску.

    mu  <- 0.04; sig <- 0.20; A <- 2
    w_star <- mu / (A * sig^2)
    cat(sprintf("w* = %.0f%% в акциях\n", 100 * w_star))

    w* = 50% в акциях

Числовой пример (квиз): μ= 4%, σ= 20%, A= 2 → w*= 0.04/(2⋅0.04) = 0.5 → 50% в акции.

Три рычага: ↑ μ → ↑ w*; ↑ σ или ↑ A → ↓ w*. На экзамене могут поменять одну величину — проверь знаменатель A σ2.

## 2.4 Три формы EMH

Форма | Что «уже в цене» | Экзаменный пример
--- | --- | ---
Слабая | История цен и объёмов | Технический анализ не даёт сверхдоходности net of fees
Полусильная | Вся публичная информация | Отчёты, новости — в цене после публикации
Сильная | Даже приватная информация | На практике не защищают (инсайд запрещён)

## 2.5 Эффективность рынка: слабая форма и time-varying premia

Слабая форма EMH: прошлые цены и объёмы не позволяют систематически бить рынок после транзакционных издержек.

Не путать с: «доходность константа». Премия за риск меняется во времени (Cochrane: discount rates). Тогда регрессия Rt+ 1e на dividend yield даёт b≠ 0 — это не обязательно arbitrage, а изменение компенсации за риск, когда рынок «дешёвый» или «дорогой».

Grossman–Stiglitz (1980): полностью информационно эффективный рынок невозможен, если информация стоит денег. Должна существовать экономическая рента у информированных инвесторов — иначе никто не будет платить за анализ.

## 2.6 Активное vs пассивное управление

| Пассивное | Активное
--- | --- | ---
Идея | Cap-weighted индекс | Отклонение от бенчмарка ради α
За | Низкие fees; при EMH — рационально | Mispricing, factor tilts
Против | Не ловит ошибки рынка | Fees + trading; α часто ≈ 0 net

На экзамене: после издержек активное управление в среднем не обязано побеждать; это согласуется с EMH в сильной форме с учётом costs.

## 2.7 Спирали ликвидности (Brunnermeier & Pedersen, 2009)

Цепочка для ответа «всухую»:

1. Шок → убытки у leveraged traders
2. Ограничение финансирования / margin calls
3. Вынужденные продажи → цены ниже фундаментала
4. Loss spiral: ещё убытки по открытым позициям
5. Margin/haircut spiral: выше haircuts → меньше leverage
6. Повтор шага 2–3

Это усиление начального шока через финансовые ограничения, не поведенческая «глупость» как единственное объяснение.

### 2.7.1 Упражнения (часть 1)

1. Ликвидность акций NYSE? → Высокая.
2. ERP ±20 bps? → Нет.
3. w* при μ= 6%, σ= 15%, A= 4:

    0.06 / (4 * 0.15^2)

    [1] 0.6666667

## 2.8 Глоссарий части 1

#### 2.8.0.1 EMH

Efficient Market Hypothesis — идея, что цены активов уже отражают всю информацию, которую разумный инвестор может использовать для систематической сверхприбыли. Это не значит, что цены «правильные» в моральном смысле или что волатильность нулевая: премия за риск и ожидания меняются, но в слабой форме прошлые цены не дают бесплатного сигнала.

На курсе EMH — фон для всего остального: если рынок эффективен в нужном смысле, активное управление должно проигрывать индексу после комиссий; если нет — остаётся место для α, факторов и поведенческих моделей.

#### 2.8.0.2 Слабая форма EMH

Слабая форма утверждает: история цен и объёмов не позволяет стабильно зарабатывать сверх E[R−Rf] после издержек. Технический анализ, «паттерны» на графике и торговля на прошлой доходности не дают преимущества в среднем.

Важная оговорка с лекции: отсутствие предсказуемости по прошлым ценам не означает постоянную доходность. Меняется премия за риск, дивидендный yield, волатильность — временной ряд рынка может быть предсказуем, и это ещё не нарушение слабой формы, если сигнал не в чистой цене вчера.

#### 2.8.0.3 Сильная форма EMH

Сильная (и полусильная) форма говорит, что вся публичная информация — отчёты, новости, макро — уже в цене. Инсайдерская сильная форма добавляет даже приватную информацию; на практике её почти никто не защищает из‑за запрета инсайда.

Для экзамена: слабая — только история цен; полусильная/сильная — публичные фундаментальные данные. Аномалии вроде momentum или value после публикации факторов — предмет споров: рынок неэффективен или это компенсация за риск?

#### 2.8.0.4 Equity risk premium (ERP)

Equity risk premium — ожидаемая избыточная доходность акций над безрисковой ставкой: E[R−Rf]. Это плата инвестору за то, что он держит рисковый актив, а не T-bill.

Оценить ERP точно трудно: выборка короткая, кризисы сдвигают среднее, режимы меняются. В модели CARA премия μ входит в числитель оптимальной доли w*. На экзамене не путайте ERP рынка с премией отдельной акции в CAPM — там ещё множитель β.

#### 2.8.0.5 Rf (безрисковая ставка)

Безрисковая ставка Rf — эталон «деньги под матрасом в финансовом смысле»: краткосрочные госбумаги США (T-bills). Все избыточные доходности считаются относительно неё: Re=R−Rf.

На практике «безрисково» — условность: реинвестирование, валюта, инфляция. В формулах курса Rf — ставка на горизонт удержания; в CAPM и Jensen α она вычитается из доходности актива и рынка одинаково.

#### 2.8.0.6 Ликвидность

Ликвидность — насколько быстро можно купить или продать актив большим объёмом, почти не двигая цену. Высокая ликвидность у крупных акций NYSE и у US Treasuries; низкая — у private equity, недвижимости, мелких бумаг.

Низкая ликвидность — отдельный риск и часть премии (illiquidity premium). В кризис ликвидность исчезает первой: спреды растут, маржинальные требования давят — это мост к спирали Brunnermeier–Pedersen.

#### 2.8.0.7 w* (оптимальная доля)

Оптимальная доля w* в рисковом активе при CARA-полезности и нормальных избыточных доходностях показывает, как агрегированный инвестор делит капитал между риском и безриском.

$$w^* = \frac{\mu}{A\sigma^2}$$

Здесь μ=E[R−Rf] — премия за риск, σ2 — дисперсия избыточной доходности, A — коэффициент абсолютной неприязни к риску. Больше премия → больше w*; больше волатильность или неприязнь → меньше доля в акциях. Модель учебная, но логика «риск–премия–отношение к риску» повторяется везде.

#### 2.8.0.8 μ (премия за риск)

В обозначениях курса μ — ожидаемая избыточная доходность рискового актива: μ=E[R−Rf]. Это не общее матожидание доходности E[R], а именно премия над Rf.

μ стоит в числителе w*: чем выше ожидаемая награда за риск, тем больше оптимальная доля в акциях. Ошибки оценки μ̂ в реальных портфелях — главная боль Markowitz; поэтому на практике часто якорятся к бенчмарку (BSV, Black–Litterman).

#### 2.8.0.9 σ (волатильность)

σ — стандартное отклонение доходности (или избыточной доходности, если так задано в задаче). Это мера «разброса», не среднего убытка в хвосте.

В w* входит σ2 в знаменателе: при прочих равных более волатильный актив получает меньший вес. Sharpe ratio нормирует среднюю премию на σ. Для портфеля дисперсия — w⊤C w; VaR/ES смотрят на хвост, а не на σ напрямую.

#### 2.8.0.10 A (неприязнь к риску)

Коэффициент A в CARA (constant absolute risk aversion) описывает, насколько инвестор «штрафует» дисперсию в полезности. Чем больше A, тем осторожнее человек при той же премии μ.

В формуле w* неприязнь стоит в знаменателе вместе с σ2: осторожный инвестор держит меньше акций. На экзамене не путайте A с β актива: β — чувствительность к рынку; A — предпочтения инвестора.

#### 2.8.0.11 Grossman–Stiglitz

Парадокс Grossman–Stiglitz: если рынок полностью информационно эффективен, никто не окупит затраты на сбор и анализ информации — значит, кто-то должен торговать на неполной информации, и полная эффективность невозможна в равновесии.

Вывод для курса: EMH — полезная крайность, а не буквальная правда. Есть место фондам, research и временным неэффективностям, но конкуренция за идеи съедает простые сигналы. Хороший ответ на экзамене связывает парадокс с активным vs пассивным управлением.

#### 2.8.0.12 Спираль ликвидности

Модель Brunnermeier–Pedersen объясняет, почему в кризис цены падают ниже «фундамента». Loss spiral: убытки → принудительные продажи → ещё ниже цены → ещё убытки. Margin/haircut spiral: кредиторы ужесточают залог (выше haircut) → меньше плечо → распродажи → падение ликвидности.

Это не опровержение EMH в слабой форме навсегда, а механизм фрикций финансирования. На экзамене полезно назвать оба спиральных канала и связать с ликвидностью и кредитным плечом.

#### 2.8.0.13 Активное / пассивное управление

Пассивное управление — держать рыночный индекс (часто cap-weighted): мало сделок, низкие fees, доходность ≈ индекс минус издержки. Активное — отклоняться от бенчмарка, чтобы заработать α; платите за research, turnover и часто проигрываете после fees.

Арифметика простая: средний активный инвестор до fees = рынок; после fees — ниже. Выигрывают те, кто систематически даёт положительную active return Rp−RB. Связь с EMH: если рынок эффективен, пассивный индекс — разумный default.

## 2.9 Формулы части 1

Оптимальная доля в рисковом активе (CARA)

$$w^* = \frac{\mu}{A\sigma^2}$$

μ=E[R−Rf] — премия; A — неприязнь к риску; σ — волатильность избыточной доходности.

Избыточная доходность

Re=R−Rf

Доходность над безрисковой ставкой Rf (T-bills).

Equity risk premium (ERP)

ERP =E[R−Rf]

Ожидаемая премия рынка акций; на практике оценивается с большой неопределённостью.

→ Часть 2: Акции

# 3 Часть 2. Акции: временной ряд и сечение

Источники: `ARM1_2_stocks.pdf`, `ARM1_3_stocks_with_solutions.pdf`
Видео: Lo Risk and Return; Cochrane Discount Rates — `arm_videos.md`

## 3.1 Две половины блока

Time series спрашивает: предсказуем ли рынок в агрегате (dividend yield, momentum на индексе, volatility). Cross section спрашивает: почему акция A в среднем обгоняет акцию B (size, value, profitability, investment, momentum). Group assignment Group 20 — чистое сечение: JKP factors, spanning, Jensen α.

## 3.2 Стилизованные факты (США, ~1926–2024)

Средняя годовая избыточная доходность рынка ≈ 8%, σ ≈ 20%, Sharpe ≈ 0.4. Распределение: толстые хвосты, левый скос; автокорреляция простых месячных доходностей ≈ 0. Малые капы исторически обгоняли крупные; T-bills — наименьшая доходность среди основных классов (квиз «1972–2020»).

    n <- 5000
    r_norm <- rnorm(n, 0.08/12, 0.20/sqrt(12))
    r_t    <- rt(n, df = 5) * (0.20/sqrt(12)) + 0.08/12
    par(mfrow = c(1, 2))
    hist(r_norm, breaks = 40, main = "Нормальные r", xlab = "r")
    hist(r_t, breaks = 40, main = "t(5) — толще хвосты", xlab = "r")

    par(mfrow = c(1, 1))

## 3.3 Предсказуемость и random walk

Rt+ 1=a+b⋅xt+εt+ 1

Значимый b → Et[Rt+ 1] =a+b xt. Random walk: b= 0 для любого xt в информационном множестве рынка.

Для excess returns на горизонте лет dividend yield часто значим: высокий yield → в среднем выше будущая real return (Campbell–Shiller квинтили: «дешёвый» рынок ~10.6% real за 10 лет).

Campbell–Shiller: неожиданная доходность = новости о cash flows + новости о discount rates. Предсказуемость ≠ неэффективность, если премия за риск time-varying.

## 3.4 Лог-доходности

rt= ln (1+Rt). Складываются по времени: $\ln(P_T/P_0) = \sum_{s=1}^T r_s$. В портфеле не линейны по весам — для wealth используй простые Rt.

Экзамен: log returns aggregate linearly in the time dimension.

## 3.5 Факторные модели (строгая форма)

$$ r_i^e = \alpha_i + \sum_{j=1}^{L} \beta_{ij} F_j + e_i $$

На экзамене для strict factor model:

- returns correlated with factors
- factors uncorrelated with each other
- residuals ei uncorrelated across assets and with factors

APT: достаточно хорошо диверсифицированный портфель не несёт idiosyncratic risk → ожидаемая доходность определяется factor loadings.

## 3.6 CAPM

E[Ri] −Rf=βi(E[Rm]−Rf)

βi — чувствительность к рынку; idiosyncratic risk диверсифицируется. Jensen α — intercept регрессии rie на rme: сверхдоходность после учёта β. На данных CAPM слаб в сечении → FF и другие факторы.

## 3.7 Fama–French, momentum и аномалии

Фактор | Смысл | Заметка
--- | --- | ---
SMB | Small minus big | Size premium
HML | High B/M minus low | Value
RMW / CMA | Profitability, investment | FF5
UMD | Winners minus losers | Momentum — часто не spanning FF3

q5 добавляет ROE и investment factor — ближе к assignment Group 20 (spanning на q5).

## 3.8 DSSW (noise traders)

Модель De Long–Shleifer–Summers–Waldmann: sentiment μt сдвигает цену от фундамента; арбитраж ограничен риском. Цена:

$$ P_t = 1 + \frac{\mu_t}{1+R} + \frac{\rho_t}{R(1+R)} $$

Шумовые трейдеры могут временно зарабатывать больше — не опровержение EMH в слабой форме, а ограниченный арбитраж.

## 3.9 Fama–MacBeth (1973)

1. N time-series regressions → β̂i для каждой акции
2. T cross-sectional: ri,t=γ0t+γ1tβ̂i+ ⋯
3. γ̄1 — оценка risk premium фактора

Первый шаг — betas; второй — prices of risk в каждый момент.

## 3.10 Spanning (связь с assignment)

Регрессия: твой фактор на CAPM / FF3 / FF5 / q5. Значимая α → модель не «поглощает» премию фактора. q5 (ROE, IA, EG) ближе к profitability/investment аномалиям, чем чистый CAPM.

    mu <- 0.08; sig <- 0.20
    cat(sprintf("Иллюстративный Sharpe: %.2f\n", mu/sig))

    Иллюстративный Sharpe: 0.40

### 3.10.1 Упражнения (часть 2)

1. Log returns линейны по…? → времени.
2. Fama–MacBeth шаг 1 → β.
3. Strict model: residuals → cross-sectionally uncorrelated.

## 3.11 Глоссарий части 2

#### 3.11.0.1 Лог-доходность

Лог-доходность rt= ln (1+Rt) удобна во временных рядах: она аддитивна по времени. Накопленная доходность за период — сумма лог-доходностей: $\ln(P_T/P_0) = \sum_{t=1}^T r_t$.

В портфеле на один период по-прежнему используют простые доходности Rt и веса wi — лог нельзя просто взвесить как линейную комбинацию доходностей активов. На экзамене частый вопрос: когда складываем rt, когда считаем 1 +R.

#### 3.11.0.2 Random walk

В регрессии предсказуемости Rt+ 1=a+b xt+εt+ 1 гипотеза random walk (в слабом смысле) — что прошлый сигнал xt не помогает: b= 0. Тогда лучший прогноз следующей доходности — константа (часто средняя премия).

Отклонение b≠ 0 не доказывает «лёгкие деньги»: сигнал может отражать time-varying risk premium (Campbell–Shiller), а не арбитраж. Различайте random walk цены и предсказуемость премии.

#### 3.11.0.3 Campbell–Shiller

Разложение Campbell–Shiller: неожиданная доходность акций складывается из новостей о будущих денежных потоках (дивиденды, buybacks) и новостей о ставках дисконтирования. Если yield высокий, часто это либо низкая цена при тех же дивидендах, либо рынок требует большую премию.

Практический вывод: предсказуемость по dividend yield не равна неэффективности — меняется ожидаемая доходность, а не «ошибка» цены. На экзамене свяжите с EH на облигациях: похожая логика discount rate vs cash flow.

#### 3.11.0.4 Dividend yield

Dividend yield — отношение дивидендов к цене акции (часто за год). Высокий начальный yield исторически связан с более высокой средней будущей реальной доходностью на длинном горизонте — но связь шумная и режимно-зависимая.

В Campbell–Shiller yield — один из сигналов xt в регрессии предсказуемости. Не путайте с купонной доходностью облигации: у акций поток не фиксирован, дивиденды режут и наращивают.

#### 3.11.0.5 Факторная модель

Факторная модель объясняет избыточную доходность актива i через общие факторы Fj и idiosyncratic остаток ei:

$$r_i^e = \alpha_i + \sum_{j=1}^{L} \beta_{ij} F_j + e_i$$

В строгой постановке курса факторы ортогональны, а остатки ei поперечно некоррелированы — тогда диверсификация снимает idiosyncratic risk. βi j — нагрузки; αi — то, что факторы не объяснили (кандидат на аномалию или миск pricing). APT и Fama–MacBeth опираются на эту структуру.

#### 3.11.0.6 Fama–MacBeth

Двухшаговая процедура Fama–MacBeth оценивает премии за факторы без предположения о стационарности β каждой акции на всей выборке.

Шаг 1: для каждой акции i временная регрессия ri,te на факторы → оценки β̂i. Шаг 2: на каждой дате t кросс-секционная регрессия ri,te на β̂i → коэффициенты γ̂t. Шаг 3: среднее γ̄ по времени — оценка премии за фактор с Fama–MacBeth standard errors.

Интуиция: сначала «кто чувствителен к фактору», потом «платят ли рынки за эту чувствительность сегодня».

#### 3.11.0.7 APT

Arbitrage Pricing Theory (Ross): при достаточном числе факторов хорошо диверсифицированный портфель не несёт idiosyncratic risk; ожидаемая доходность — линейная функция factor loadings. В отличие от CAPM, не требует одного «рыночного» портфеля и квадратичной полезности — достаточно отсутствия арбитража.

На экзамене: APT — многofакторное ожидание без жёсткой истории mean–variance; CAPM — частный случай с одним фактором Rm−Rf. Оба связаны с β и премиями λj.

#### 3.11.0.8 Spanning

Spanning-тест спрашивает: объясняет ли известная модель (CAPM, Fama–French 3/5) доходность нового фактора или стратегии? Регрессируете доходность кандидата на доходности факторов базовой модели; значимый intercept α → фактор не «поглощён» моделью — несёт отдельную премию.

Пример: momentum UMD часто даёт α поверх FF3 — значит, value и size не spanning momentum. Для экзамена: spanning — про вложенность информации, не про causality.

#### 3.11.0.9 Sharpe ratio

Sharpe ratio — доходность на единицу общего риска (волатильности):

$$\text{Sharpe} = \frac{\bar{R} - R_f}{\sigma}$$

Чем выше Sharpe, тем больше премия за каждый процент σ. Исторически рынок акций США даёт Sharpe порядка 0.3–0.5 в годовых терминах (зависит от выборки).

Из месячных данных при i.i.d. годовой Sharpe ≈ месячный $\times \sqrt{12}$. Sharpe сравнивает портфели с разной волатильностью; Treynor — для диверсифицированных портфелей с фокусом на β.

#### 3.11.0.10 β (бета)

β — чувствительность доходности актива к фактору. В CAPM βi= Cov(Ri,Rm)/Var(Rm): на сколько процентов в среднем движется акция, когда рынок движется на 1%.

В многофакторной модели у актива несколько βi j — по одному на фактор Fj. На первом шаге Fama–MacBeth βi оценивают по времени для каждой акции. Высокая β → больше систематического риска → в CAPM требуется большая ожидаемая премия.

#### 3.11.0.11 α (альфа)

α — сверхдоходность, которую модель не объяснила: intercept в регрессии rie на факторы или рынок. Положительная Jensen α — фонд обогнал CAPM после учёта β; отрицательная — недобрал.

В факторной модели αi у отдельной акции на длинной выборке должен быть ≈0 в эффективном рынке; у стратегии или фонда устойчивая α — признак skill или неучтённого риска. Не путайте α в регрессии с буквой α уровня VaR (там это хвостовая вероятность).

#### 3.11.0.12 CAPM

Capital Asset Pricing Model связывает ожидаемую премию актива с его рыночной β:

E[Ri] −Rf=βi(E[Rm]−Rf)

Идея: только систематический риск (корреляция с рынком) оплачивается; idiosyncratic risk диверсифицируется. Рыночный портфель — tangency portfolio при допущениях модели.

На данных CAPM слаб для сечения (size, value); используют как benchmark и для Jensen α. Экзамен: знать формулу, роль β, отличие от APT/FF.

#### 3.11.0.13 DSSW (noise traders)

Модель De Long, Shleifer, Summers, Waldmann (DSSW): на рынке есть рациональные арбитражёры и noise traders с ошибочными ожиданиями (sentiment). Арбитраж ограничен: рискованно ставить против толпы, пока sentiment не развернётся.

Цена может отклоняться от фундамента; noise traders иногда зарабатывают больше в коротком горизонте, «сдвигая риск» на арбитражёров. Формула цены связывает Pt с μt (sentiment) и поправкой на риск ρt. Связь с EMH: даже без новой информации цена движется из‑за потока убеждений.

#### 3.11.0.14 Fama–French

Модели Fama–French добавляют к рынку факторы size (SMB), value (HML) и в расширении profitability (RMW), investment (CMA). Объясняют сечение лучше, чем CAPM: малые и value-акции в среднем давали более высокую доходность.

Интерпретация: либо компенсация за риск, либо поведенческие искажения — курс даёт оба угла. В spanning-тестах FF — базовая модель; новые факторы (momentum) проверяют на α поверх FF.

#### 3.11.0.15 Momentum

Momentum (фактор UMD — up minus down): акции, которые хорошо росли за последние 6–12 месяцев, в среднем продолжают обгонять проигравших на коротком горизонте. Классическая аномалия для слабой формы EMH, если считать окно публичным.

Стратегия даёт оборот и просадки при разворотах. Часто не spanning FF3 — значит, премия не сводится к size/value. На экзамене: momentum — cross-section, не то же самое, что предсказуемость агрегированного рынка.

#### 3.11.0.16 Size premium

Size premium — наблюдение, что акции с малой капитализацией в среднем опережали крупные (SMB = small minus big). Возможные объяснения: компенсация за риск банкротства и ликвидности, или mispricing мелких имён.

В FF3 фактор SMB — лонг малые, шорт крупные в нейтрали по другим характеристикам. На экзамене не путайте size с β рынка: маленькая компания может иметь низкую рыночную β, но высокую нагрузку на SMB.

#### 3.11.0.17 Cross section (сечение)

Cross section — сравнение многих активов в один момент времени: почему одни акции имеют более высокую ожидаемую доходность, чем другие. Здесь живут size, value, momentum, β в Fama–MacBeth.

Противопоставление: time series — один агрегированный рынок во времени (предсказуемость S&P по yield). Разные инструменты и разные выводы: рынок может быть слабо предсказуем в агрегате, но факторы в сечении — стабильны.

#### 3.11.0.18 Time series (временной ряд)

Time series анализ — доходность одного портфеля или рынка во времени: Rt+ 1 как функция прошлых сигналов xt (yield, volatility, spread). Регрессия Rt+ 1=a+b xt+εt+ 1 — стандартный каркас.

b≠ 0 может означать меняющуюся премию за риск, а не арбитраж. На экзамене отделяйте от cross-section факторов: dividend yield рынка ≠ HML в сечении акций.

#### 3.11.0.19 HML (value)

HML (high minus low book-to-market) — value-фактор Fama–French: длинная позиция в акциях с высоким отношением балансовой стоимости к рыночной, короткая в «growth» с низким B/M.

Value historically опережал growth; интерпретации — distress risk, mispricing ожиданий или учёт неучтённых рисков. В регрессии доходности фонда коэффициент на HML показывает value-экспозицию (style analysis).

#### 3.11.0.20 q5-модель

q5-модель (Hou, Xue, Zhang) — пять факторов с акцентом на profitability (ROE) и investment (рост активов), ближе к инвестиционной логике q-theory, чем классический FF5.

Идея: фирмы с высокой рентабельностью и умеренным инвестированием в среднем дают другую доходность, чем агрессивно разрастающиеся «growth». На экзамене достаточно знать, что это альтернатива FF по сечению, не выводить коэффициенты.

## 3.12 Формулы части 2

Факторная модель (сечение)

$$r_i^e = \alpha_i + \sum_{j=1}^{L} \beta_{ij} F_j + e_i$$

Строгая модель: факторы ортогональны; остатки ei поперечно некоррелированы.

Бета актива (CAPM)

$$\beta_i = \frac{\mathrm{Cov}(R_i, R_m)}{\mathrm{Var}(R_m)}$$

Чувствительность доходности актива к рыночному портфелю.

Лог-доходность

$$r_t = \ln(1+R_t), \quad \ln\frac{P_T}{P_0} = \sum_{t=1}^{T} r_t$$

Аддитивна по времени; в портфеле по весам — простые Rt.

Предсказуемость (временной ряд)

Rt+ 1=a+b xt+εt+ 1

b= 0 — random walk; b≠ 0 может быть time-varying risk premium.

Fama–MacBeth (кросс-секция)

ri,te=γ0t+γ1t β̂i+ ⋯ +εi,t

Шаг 2: на каждой дате t оценивают премию за β; γ̄1 — risk premium фактора.

Sharpe ratio

$$\text{Sharpe} = \frac{\bar{R} - R_f}{\sigma}$$

Премия на единицу общей волатильности; рынок США ≈ 0.4 годовых.

CAPM (ожидаемая доходность)

E[Ri] −Rf=βi(E[Rm]−Rf)

Оплачивается только систематический риск.

CAPM-регрессия (оценка α, β)

Ri,te=αi+βiRm,te+εi,t

Jensen α — intercept; βi — наклон.

DSSW (noise traders)

$$P_t = 1 + \frac{\mu_t}{1+R} + \frac{\rho_t}{R(1+R)}$$

μt — sentiment; ρt — поправка на риск арбитража.

→ Часть 3: Облигации

# 4 Часть 3. Гособлигации

Источник: `ARM1_3_GovernmentBonds.pdf`
Видео: Shiller Yale Lecture 10 — Term Structure — `arm_videos.md`

## 4.1 Zero-coupon и yield

Облигация срока n в t платит $1 в t+n:

$$ P_t^{(n)} = \frac{1}{(1+y)^{n}} $$

Пример: n= 2, y= 5.13% → P(2)≈ 0.905.

Yield ≠ holding period return. Yield — сравнение на момент покупки; realized return зависит от сдвига кривой.

## 4.2 Forward rates (gross yields)

Пусть Yt(1), Yt(2) — gross one- and two-year yields (1 +y):

$$ F_t^{(2)} = \frac{(Y_t^{(2)})^2}{Y_t^{(1)}} $$

    Y1 <- 1.020; Y2 <- 1.021
    cat(sprintf("F^(2) = %.4f\n", Y2^2/Y1))

    F^(2) = 1.0220

Экзамен: Y(1)= 1.020, Y(2)= 1.021 → F(2)≈ 1.022.

## 4.3 Expectations hypothesis

Эквивалентно: длинная ставка = среднее ожидаемых коротких; forward = expected future spot. Вверх наклонная кривая → ожидание роста кратких ставок. На данных EH отвергается — term premium в форвардах.

## 4.4 Duration и ценовой риск

Модифицированная duration D: приблизительно Δ P/P≈  −D Δ y. Длинный срок и низкий купон → выше D → сильнее реакция на сдвиг кривой. Падение yield → рост цены (обратная связь).

## 4.5 Term premium

Term premium — доплата за длительность сверх того, что предсказывает expectations hypothesis. Если EH верна, forward = ожидаемая spot; на данных — нет: длинные облигации несут отдельную премию за риск сдвига кривой и инфляции.

## 4.6 Bond risk premia: Fama–Bliss / Cochrane–Piazzesi

rt,t+ 1e(n)=γ0+γ1(ft(n)−yt(1)) +ut+ 1

Пример: re= 1.25 ⋅ (f(3)−y(1)), y(1)= 1.5%, f(3)= 3.5%.

    y1 <- 0.015; f3 <- 0.035
    r_ex <- 1.25 * (f3 - y1)
    cat(sprintf("Excess %.2f%%, total %.2f%%\n", 100*r_ex, 100*(y1+r_ex)))

    Excess 2.50%, total 4.00%

→ excess 2.5%, total ≈ 4%.

### 4.6.1 Упражнения (часть 3)

Forward при Y(1)= 1.02, Y(2)= 1.03 (gross):

    1.03^2 / 1.02

    [1] 1.040098

## 4.7 Глоссарий части 3

#### 4.7.0.1 Zero-coupon

Zero-coupon облигация не платит купонов до погашения: один платёж 1 (или номинал) в срок n. Цена сегодня — дисконтированная стоимость единичного платежа:

$$P_t^{(n)} = \frac{1}{(1+y)^n}$$

где y — yield to maturity на момент покупки. Вся доходность — из изменения цены и приближения к погашению (pull to par). Базовый кирпич кривой доходности и форвардных ставок.

#### 4.7.0.2 Yield (доходность к погашению)

Yield to maturity (YTM) — постоянная ставка y, при которой текущая цена равна приведённой стоимости всех будущих платежей облигации. Для zero-coupon это просто P= 1/(1+y)n.

Критично: yield на входе в позицию — не то же самое, что realized holding period return. Если кривая сдвинулась, фактическая доходность за период отличается от начального y. На экзамене различайте promised YTM и ex-post return.

#### 4.7.0.3 Forward rate

Forward rate Ft(n) — ставка, зафиксированная сегодня на будущий однопериодный займ, согласованная с ценами zero-coupon разных сроков (нет арбитража). В gross-обозначениях Y= 1 +y:

(Yt(2))2=Yt(1)⋅Ft(2)

Интуиция: двухлетняя ставка должна совпадать с «один год сейчас + один год потом по форварду». Из кривой spot извлекают implied forwards.

#### 4.7.0.4 Expectations hypothesis

Expectations hypothesis (EH): долгосрочная ставка — среднее ожидаемых будущих краткосрочных ставок (с поправкой на терминологию gross/net). Forward rate — несмещённый прогноз будущей spot rate.

На данных EH обычно отвергается: длинные облигации несут term premium — инвесторы требуют доплату за длительность сверх ожидаемого пути кратких ставок. Fama–Bliss показывает предсказуемость премии через спред форвардов.

#### 4.7.0.5 Term premium

Term premium — дополнительная ожидаемая доходность (или скидка к ожиданию) за удержание длинной облигации сверх того, что предсказывает EH из кратких ставок. Отражает риск сдвига кривой, инфляции, ликвидности Treasuries.

Если term premium положителен, долгосрочные бумаги в среднем дают больше, чем «катание» кратких. В регрессиях Fama–Bliss избыточная доходность облигации связана со спредом f(n)−y(1) — практический прокси премии.

#### 4.7.0.6 Fama–Bliss

Fama–Bliss (1987) — эмпирика term structure: избыточная доходность облигации срока n предсказуема спредом между forward и текущей краткой ставкой:

rt,t+ 1e(n)=γ0+γ1(ft(n)−yt(1)) +εt+ 1

Когда форвард выше spot, в среднем следует более высокая realized premium — отклонение от чистого EH. Cochrane–Piazzesi обобщают на линейную комбинацию форвардов разных сроков.

#### 4.7.0.7 Кривая доходности

Кривая доходности — зависимость YTM (или spot) от срока погашения n. Нормальная (вверх) — длинные ставки выше кратких; инвертированная — краткие выше длинных, часто перед рецессией.

Форма кривой складывается из ожидаемого пути кратких ставок и term premium. Связь с макро: инфляция, политика ЦБ, спрос на safe assets. На экзамене: не путайте движение вдоль кривой и сдвиг всей кривой для duration.

#### 4.7.0.8 Duration

Duration — мера чувствительности цены облигации к изменению доходности. При модифицированной duration приблизительно Δ P/P≈  −D Δ y: падение yield → рост цены (обратная связь).

Длиннее срок и ниже купон → выше duration → больше ценовой риск при сдвиге кривой. Duration связана с term premium и риском портфеля облигаций; для точного хеджа смотрят convexity.

## 4.8 Формулы части 3

Цена zero-coupon

$$P_t^{(n)} = \frac{1}{(1+y)^n}$$

y — yield to maturity на момент покупки.

Gross forward rate

$$(Y_t^{(2)})^2 = Y_t^{(1)} \cdot F_t^{(2)}, \quad F_t^{(2)} = \frac{(Y_t^{(2)})^2}{Y_t^{(1)}}$$

Y= 1 +y (gross yield). Экзамен: F=Y22/Y1.

Expectations hypothesis

ft(n)≈Et[yt+n(1)]

Forward ≈ ожидаемая будущая spot; на данных обычно отвергается (term premium).

Duration (ценовой риск)

$$\frac{\Delta P}{P} \approx -D_{\text{mod}}\,\Delta y$$

Падение yield → рост цены облигации.

Fama–Bliss

rt,t+ 1e(n)=γ0+γ1(ft(n)−yt(1)) +εt+ 1

Спред форвардов предсказывает избыточную доходность облигации.

Holding period return облигации

$$R_{t\to t+1} = \frac{P_{t+1}^{(n-1)} - P_t^{(n)}}{P_t^{(n)}}$$

Realized return ≠ начальный YTM, если кривая сдвинулась.

→ Часть 4: Риски портфеля

# 5 Часть 4. Измерение и управление рисками портфеля

Источник: `ARM1_4_PortfolioRisks.pdf`

## 5.1 Зачем отделять risk management от PM

Разные функции, разные стимулы (PM как call option на upside), независимый риск-контроль. Risk manager смотрит на хвосты и лимиты; PM — на ожидаемую доходность. Конфликт интересов — типовой экзаменационный ответ.

## 5.2 Доходности и active weights

$$ R_t = \frac{P_t + CF_t}{P_{t-1}} - 1, \quad R_w = w'R, \quad R^e = R - R_f $$

Active return: Rp−RB. Active weights: wA=w−wB, ∑wA= 0 (доллар-нейтральное отклонение от бенчмарка).

## 5.3 Дисперсия портфеля

σw2=w′C w

C — ковариационная матрица доходностей. Для тысяч активов оценка C шумная → factor models (C≈B ΣFB′ +D) снижают число параметров.

## 5.4 Value at Risk

Pr (−R≥VaR) =α

При 95% confidence: с вероятностью 95% потеря < VaR; с 5% — ≥ VaR. VaR — порог, не средний убыток в хвосте.

FX пример: exposure €8m, 10-day σ = $0.565\% \times \sqrt{10}$, 95% VaR ≈ 1.65σ10d → ~2.95% → €236,000.

    exposure <- 8e6
    sigma_h <- 0.00565 * sqrt(10)
    var_eur <- exposure * 1.65 * sigma_h
    format(round(var_eur), big.mark = ",")

    [1] "235,843"

## 5.5 Два фактора и корреляция

$$ \text{VaR}_{\text{tot}} = \sqrt{\text{VaR}_1^2 + \text{VaR}_2^2 + 2\rho\,\text{VaR}_1\,\text{VaR}_2} $$

При ρ< 0 хедж снижает совокупный VaR.

## 5.6 Expected Shortfall (ES / CVaR)

ES =E[−R∣−R≥VaR]

Ожидаемый убыток если пробит VaR. Всегда ≥ VaR; sub-additive (в отличие от VaR в общем случае) — аргумент регуляторов (Basel).

    r <- rt(1e5, df = 4) * 0.02
    loss <- -r
    var95 <- quantile(loss, 0.95)
    es95 <- mean(loss[loss >= var95])
    sprintf("VaR=%.3f%%, ES=%.3f%%", 100*var95, 100*es95)

    [1] "VaR=4.298%, ES=6.470%"

## 5.7 Ковариация

σw2=w′C w. Оценка C для тысяч активов — шумная; factor models уменьшают параметры.

### 5.7.1 Упражнения (часть 4)

1. ES vs VaR → ES > VaR.
2. ES — условное ожидание при… → пробитии VaR.
3. Зачем разделять RM и PM → конфликт интересов, независимый контроль.

## 5.8 Глоссарий части 4

#### 5.8.0.1 VaR

Value at Risk (VaR) на уровне α — порог потерь, который не превышается с вероятностью 1 −α в заданном горизонте. Если R — доходность портфеля, смотрят на потерю −R:

Pr (−R≥VaRα) =α

Пример: VaR5%= 2% — в 5% худших дней потеря не меньше 2% (знак конвенции уточняйте в задаче). VaR — квантиль хвоста, не средний убыток: два портфеля с одинаковым VaR могут иметь разную глубину катастроф дальше порога. Именно поэтому вводят Expected Shortfall.

#### 5.8.0.2 Expected Shortfall (ES)

Expected Shortfall (ES), также CVaR — средний размер потери в тех сценариях, где убыток уже пробил VaR. Сначала задают VaR на уровне α (например, 5% худших дней):

Pr (−R≥VaRα) =α

Затем ES спрашивает: «если мы попали в этот хвост, насколько плохо в среднем?»

ESα=E[−R∣−R≥VaRα]

Интуиция: VaR — порог «стены»; ES — средняя глубина ямы за стеной. Всегда ESα≥ VaRα. Два портфеля с одинаковым VaR, но разным ES — у одного хвост толще; регуляторы (Basel III) сместились к ES, потому что VaR не субаддитивен и молчит о форме хвоста.

На экзамене: ES — про условное среднее в хвосте; не путать с дисперсией w⊤C w и не путать α здесь (уровень хвоста) с Jensen α.

#### 5.8.0.3 Active return / weights

Active return — отклонение доходности портфеля от бенчмарка: Rp−RB. Active weights wA=w−wB показывают, где менеджер перегрузил или недогрузил активы относительно индекса; сумма active weights равна нулю (доллар-нейтральное отклонение при тех же суммарных весах).

Положительная active return — цель активного управления; её разлагают на allocation и selection. Связь с tracking error: высокие active weights при том же C → больше риск отклонения от бенчмарка.

#### 5.8.0.4 Ковариационная матрица

Ковариационная матрица C доходностей активов — сердце mean–variance и риска портфеля. Дисперсия портфеля с весами w:

σw2=w⊤C w

Диагональ C — дисперсии; внедиагональ — ковариации (корреляции масштабированы на σiσj). Factor models снижают размерность: C≈B ΣFB⊤+D — проще оценивать и стабильнее в оптимизации.

VaR/ES смотрят на хвост распределения R; w⊤C w — про второй момент в гауссовой логике, не заменяет ES при толстых хвостах.

#### 5.8.0.5 Risk management vs PM

Portfolio management и risk management — разные функции с разными стимулами. PM часто похож на long call: участвует в upside, бонус за доходность; risk manager ограничивает хвосты, VaR/ES, лимиты — «страховка» для фирмы.

Конфликт: PM хочет рисковать ради α, риск-офицер режет позиции перед кризисом. На экзамене: назовите асимметрию payoff и почему лимиты VaR/ES не заменяют здравый смысл (модельный риск, ликвидность).

## 5.9 Формулы части 4

Доходность портфеля

$$R_w = w' R, \quad R_t = \frac{P_t + CF_t}{P_{t-1}} - 1$$

Простые доходности; ∑wi= 1.

Дисперсия портфеля

σw2=w′C w

C — ковариационная матрица доходностей.

Ковариации через факторы

C≈B ΣFB′ +D

Снижает число параметров при тысячах акций.

Value at Risk (определение)

Pr (−R≥VaRα) =α

VaR — квантиль потерь, не средний хвост.

Parametric VaR (FX-пример)

VaR =z1 −α σh× exposure

95%: z≈ 1.65; $\sigma_h = \sigma_{\text{daily}}\sqrt{h}$ (напр. h= 10 дней).

Масштаб волатильности по горизонту

$$\sigma_h = \sigma_{\text{daily}}\sqrt{h}$$

i.i.d.: 10-day σ = daily $\times\sqrt{10}$.

Expected Shortfall (ES / CVaR)

ESα=E[−R∣−R≥VaRα]

Средний убыток при пробитии VaR; всегда ES ≥ VaR.

VaR двух факторов (корреляция)

$$\text{VaR}_{\text{tot}} = \sqrt{\text{VaR}_1^2 + \text{VaR}_2^2 + 2\rho\,\text{VaR}_1\,\text{VaR}_2}$$

ρ< 0 — хедж снижает совокупный риск.

Active return / weights

Rp−RB,wA=w−wB,  ∑wA= 0

Active weights dollar-neutral относительно бенчмарка.

→ Часть 5: BSV и performance

# 6 Часть 5. Параметрические портфели и оценка результатов

Источники: `ARM1_5_parametric_opt_performance_eval.pdf`, `ARM1_5_with_solutions_...pdf`
Видео: Tidy Finance BSV tutorial — `arm_videos.md`

## 6.1 Проблема Markowitz

μ̂ нестабилен → экстремальные веса. Mean–variance максимизирует $\mu'w - \frac{\gamma}{2}w'Cw$, но малый шум в μ̂ даёт нереалистичные long/short.

## 6.2 Black–Litterman

Комбинирует equilibrium returns (из cap-weight и C) с views инвестора и доверием к ним. Веса менее экстремальны, чем у «голого» Markowitz. Альтернатива: shrinkage μ̂ к рыночному prior.

## 6.3 Style analysis (Sharpe)

Регрессия доходности фонда на стилевые индексы с ограничением весов ≥ 0, сумма 1 — «теневой портфель» без данных о holdings. Отделяет factor tilts от заявленной α.

## 6.4 Brandt–Santa-Clara–Valkanov

$$ w_{i,t} = \bar w_{i,t} + \frac{\theta' x_{i,t}}{N_t} $$

- w̄i,t — cap-weight benchmark
- xi,t — standardized characteristics (size, B/M, momentum)
- θ — оценивается на max utility / Sharpe OOS

Смысл: веса параметрические, без прямой оценки μi для каждой акции.

## 6.5 Return-based performance

Метрика | Идея | Когда
--- | --- | ---
Sharpe | (R̄−Rf)/σ | Total risk
Treynor | (R̄−Rf)/β | Diversified
Jensen α | intercept CAPM | После β
M² | scale to market σ | Sharpe в $

Годовой Sharpe из месячного: × $\sqrt{12}$ (i.i.d.).

    Rf <- 0.02; Rm <- 0.10; Ra <- 0.12; beta <- 1.2
    alpha <- Ra - Rf - beta * (Rm - Rf)
    sprintf("Jensen alpha = %.1f%%", 100*alpha)

    [1] "Jensen alpha = 0.4%"

## 6.6 Spanning и assignment

Jensen α фактора в q5 ≈ 0 → фактор priced q-моделью. α в CAPM значима → рынок не объясняет; FF3/FF5 повышают R², profitability/investment аномалии могут остаться.

## 6.7 Глоссарий части 5

#### 6.7.0.1 BSV

Brandt–Santa-Clara–Valkanov (BSV) — parametric portfolio policy: веса линейно зависят от характеристик акций xi,t (size, value, momentum и т.д.), а не от полной оценки μ̂ и огромной C как в Markowitz:

$$w_{i,t} = \bar{w}_{i,t} + \frac{\theta^\top x_{i,t}}{N_t}$$

w̄ — cap-weight бенчмарк, xi,t стандартизованы, θ оценивают из данных. Меньше ошибка extreme weights от шумной μ̂; удобно для большого N.

#### 6.7.0.2 Markowitz

Markowitz mean–variance — выбираем веса w, максимизируя $\mu^\top w - \frac{\gamma}{2} w^\top C w$. Красиво теоретически, хрупко на данных: оценки μ̂ шумные, малая ошибка в среднем → экстремальные веса и плохой out-of-sample Sharpe.

Поэтому на практике — ограничения, shrinkage, Black–Litterman, BSV. На экзамене: знать проблему μ̂, не только формулу frontier.

#### 6.7.0.3 Black–Litterman

Black–Litterman комбинирует рыночное равновесие (implied returns из cap-weight и C) с субъективными views инвестора и явной неопределённостью views. Веса получаются менее экстремальными, чем у «голого» Markowitz с сырой μ̂.

Интуиция: доверяй рынку как prior, добавляй умеренные ставки («value перевесит growth на 2%») с доверительным интервалом. Альтернатива оптимизации без полного отказа от активных идей.

#### 6.7.0.4 Treynor ratio

Treynor ratio — премия на единицу систематического риска (β), а не общей σ:

$$\text{Treynor} = \frac{\bar{R} - R_f}{\beta}$$

Имеет смысл для хорошо диверсифицированных портфелей, где idiosyncratic risk снят. Сравнение с Sharpe: Sharpe — total risk; Treynor — market risk. Фонд с высокой β может иметь низкий Treynor, даже если Sharpe приличный.

#### 6.7.0.5 M²

M² (Modigliani–Modigliani) масштабирует волатильность портфеля до уровня рынка левериджем/де-левериджем и сравнивает доходность в «одинаковых единицах риска». Удобно объяснить инвестору: «если бы ваш фонд имел ту же σ, что S&P, вот сколько бы вы заработали».

Связано с Sharpe: ранжирование по M² эквивалентно ранжированию по Sharpe, но в процентах доходности, а не в безразмерном ratio.

#### 6.7.0.6 Style analysis

Style analysis (William Sharpe) — регрессия доходности фонда на набор стилевых индексов (акции, облигации, value, growth) с ограничением весов ≥ 0 и суммой 1. Получаем «теневой портфель» без раскрытия фактических holdings.

Помогает отделить β-стили от заявленной α. Ограничение long-only весов — ключ; без него fit слишком свободный.

## 6.8 Формулы части 5

Markowitz mean–variance

$$\max_w \; \mu'w - \frac{\gamma}{2}\,w'Cw$$

Чувствителен к ошибке μ̂ → экстремальные веса.

BSV веса

$$w_{i,t} = \bar{w}_{i,t} + \frac{\theta' x_{i,t}}{N_t}$$

xi,t стандартизованы; w̄ — cap-weight бенчмарк.

Jensen’s α

α=Ra−Rf−β(Rm−Rf)

Сверхдоходность после учёта рыночной β.

Treynor ratio

$$\text{Treynor} = \frac{\bar{R} - R_f}{\beta}$$

Для хорошо диверсифицированных портфелей.

Годовой Sharpe из месячного

$$\text{Sharpe}_{\text{ann}} = \text{Sharpe}_{\text{m}} \times \sqrt{12}$$

При i.i.d. месячных доходностях.

M² (Modigliani–Modigliani)

$$R_{M^2} = R_f + \frac{\sigma_m}{\sigma_p}(R_p - R_f)$$

Масштабирует портфель до σ рынка; ранжирование как у Sharpe.

← Часть 4 | Полный глоссарий и формулы ниже ↓

# 7 Глоссарий курса

Полный список терминов (синхронизирован с квизом). Кликабельные подсказки — в интерактивной версии.

## 7.1 Глоссарий — часть 1

#### 7.1.0.1 EMH

Efficient Market Hypothesis — идея, что цены активов уже отражают всю информацию, которую разумный инвестор может использовать для систематической сверхприбыли. Это не значит, что цены «правильные» в моральном смысле или что волатильность нулевая: премия за риск и ожидания меняются, но в слабой форме прошлые цены не дают бесплатного сигнала.

На курсе EMH — фон для всего остального: если рынок эффективен в нужном смысле, активное управление должно проигрывать индексу после комиссий; если нет — остаётся место для α, факторов и поведенческих моделей.

#### 7.1.0.2 Слабая форма EMH

Слабая форма утверждает: история цен и объёмов не позволяет стабильно зарабатывать сверх E[R−Rf] после издержек. Технический анализ, «паттерны» на графике и торговля на прошлой доходности не дают преимущества в среднем.

Важная оговорка с лекции: отсутствие предсказуемости по прошлым ценам не означает постоянную доходность. Меняется премия за риск, дивидендный yield, волатильность — временной ряд рынка может быть предсказуем, и это ещё не нарушение слабой формы, если сигнал не в чистой цене вчера.

#### 7.1.0.3 Сильная форма EMH

Сильная (и полусильная) форма говорит, что вся публичная информация — отчёты, новости, макро — уже в цене. Инсайдерская сильная форма добавляет даже приватную информацию; на практике её почти никто не защищает из‑за запрета инсайда.

Для экзамена: слабая — только история цен; полусильная/сильная — публичные фундаментальные данные. Аномалии вроде momentum или value после публикации факторов — предмет споров: рынок неэффективен или это компенсация за риск?

#### 7.1.0.4 Equity risk premium (ERP)

Equity risk premium — ожидаемая избыточная доходность акций над безрисковой ставкой: E[R−Rf]. Это плата инвестору за то, что он держит рисковый актив, а не T-bill.

Оценить ERP точно трудно: выборка короткая, кризисы сдвигают среднее, режимы меняются. В модели CARA премия μ входит в числитель оптимальной доли w*. На экзамене не путайте ERP рынка с премией отдельной акции в CAPM — там ещё множитель β.

#### 7.1.0.5 Rf (безрисковая ставка)

Безрисковая ставка Rf — эталон «деньги под матрасом в финансовом смысле»: краткосрочные госбумаги США (T-bills). Все избыточные доходности считаются относительно неё: Re=R−Rf.

На практике «безрисково» — условность: реинвестирование, валюта, инфляция. В формулах курса Rf — ставка на горизонт удержания; в CAPM и Jensen α она вычитается из доходности актива и рынка одинаково.

#### 7.1.0.6 Ликвидность

Ликвидность — насколько быстро можно купить или продать актив большим объёмом, почти не двигая цену. Высокая ликвидность у крупных акций NYSE и у US Treasuries; низкая — у private equity, недвижимости, мелких бумаг.

Низкая ликвидность — отдельный риск и часть премии (illiquidity premium). В кризис ликвидность исчезает первой: спреды растут, маржинальные требования давят — это мост к спирали Brunnermeier–Pedersen.

#### 7.1.0.7 w* (оптимальная доля)

Оптимальная доля w* в рисковом активе при CARA-полезности и нормальных избыточных доходностях показывает, как агрегированный инвестор делит капитал между риском и безриском.

$$w^* = \frac{\mu}{A\sigma^2}$$

Здесь μ=E[R−Rf] — премия за риск, σ2 — дисперсия избыточной доходности, A — коэффициент абсолютной неприязни к риску. Больше премия → больше w*; больше волатильность или неприязнь → меньше доля в акциях. Модель учебная, но логика «риск–премия–отношение к риску» повторяется везде.

#### 7.1.0.8 μ (премия за риск)

В обозначениях курса μ — ожидаемая избыточная доходность рискового актива: μ=E[R−Rf]. Это не общее матожидание доходности E[R], а именно премия над Rf.

μ стоит в числителе w*: чем выше ожидаемая награда за риск, тем больше оптимальная доля в акциях. Ошибки оценки μ̂ в реальных портфелях — главная боль Markowitz; поэтому на практике часто якорятся к бенчмарку (BSV, Black–Litterman).

#### 7.1.0.9 σ (волатильность)

σ — стандартное отклонение доходности (или избыточной доходности, если так задано в задаче). Это мера «разброса», не среднего убытка в хвосте.

В w* входит σ2 в знаменателе: при прочих равных более волатильный актив получает меньший вес. Sharpe ratio нормирует среднюю премию на σ. Для портфеля дисперсия — w⊤C w; VaR/ES смотрят на хвост, а не на σ напрямую.

#### 7.1.0.10 A (неприязнь к риску)

Коэффициент A в CARA (constant absolute risk aversion) описывает, насколько инвестор «штрафует» дисперсию в полезности. Чем больше A, тем осторожнее человек при той же премии μ.

В формуле w* неприязнь стоит в знаменателе вместе с σ2: осторожный инвестор держит меньше акций. На экзамене не путайте A с β актива: β — чувствительность к рынку; A — предпочтения инвестора.

#### 7.1.0.11 Grossman–Stiglitz

Парадокс Grossman–Stiglitz: если рынок полностью информационно эффективен, никто не окупит затраты на сбор и анализ информации — значит, кто-то должен торговать на неполной информации, и полная эффективность невозможна в равновесии.

Вывод для курса: EMH — полезная крайность, а не буквальная правда. Есть место фондам, research и временным неэффективностям, но конкуренция за идеи съедает простые сигналы. Хороший ответ на экзамене связывает парадокс с активным vs пассивным управлением.

#### 7.1.0.12 Спираль ликвидности

Модель Brunnermeier–Pedersen объясняет, почему в кризис цены падают ниже «фундамента». Loss spiral: убытки → принудительные продажи → ещё ниже цены → ещё убытки. Margin/haircut spiral: кредиторы ужесточают залог (выше haircut) → меньше плечо → распродажи → падение ликвидности.

Это не опровержение EMH в слабой форме навсегда, а механизм фрикций финансирования. На экзамене полезно назвать оба спиральных канала и связать с ликвидностью и кредитным плечом.

#### 7.1.0.13 Активное / пассивное управление

Пассивное управление — держать рыночный индекс (часто cap-weighted): мало сделок, низкие fees, доходность ≈ индекс минус издержки. Активное — отклоняться от бенчмарка, чтобы заработать α; платите за research, turnover и часто проигрываете после fees.

Арифметика простая: средний активный инвестор до fees = рынок; после fees — ниже. Выигрывают те, кто систематически даёт положительную active return Rp−RB. Связь с EMH: если рынок эффективен, пассивный индекс — разумный default.

## 7.2 Глоссарий — часть 2

#### 7.2.0.1 Лог-доходность

Лог-доходность rt= ln (1+Rt) удобна во временных рядах: она аддитивна по времени. Накопленная доходность за период — сумма лог-доходностей: $\ln(P_T/P_0) = \sum_{t=1}^T r_t$.

В портфеле на один период по-прежнему используют простые доходности Rt и веса wi — лог нельзя просто взвесить как линейную комбинацию доходностей активов. На экзамене частый вопрос: когда складываем rt, когда считаем 1 +R.

#### 7.2.0.2 Random walk

В регрессии предсказуемости Rt+ 1=a+b xt+εt+ 1 гипотеза random walk (в слабом смысле) — что прошлый сигнал xt не помогает: b= 0. Тогда лучший прогноз следующей доходности — константа (часто средняя премия).

Отклонение b≠ 0 не доказывает «лёгкие деньги»: сигнал может отражать time-varying risk premium (Campbell–Shiller), а не арбитраж. Различайте random walk цены и предсказуемость премии.

#### 7.2.0.3 Campbell–Shiller

Разложение Campbell–Shiller: неожиданная доходность акций складывается из новостей о будущих денежных потоках (дивиденды, buybacks) и новостей о ставках дисконтирования. Если yield высокий, часто это либо низкая цена при тех же дивидендах, либо рынок требует большую премию.

Практический вывод: предсказуемость по dividend yield не равна неэффективности — меняется ожидаемая доходность, а не «ошибка» цены. На экзамене свяжите с EH на облигациях: похожая логика discount rate vs cash flow.

#### 7.2.0.4 Dividend yield

Dividend yield — отношение дивидендов к цене акции (часто за год). Высокий начальный yield исторически связан с более высокой средней будущей реальной доходностью на длинном горизонте — но связь шумная и режимно-зависимая.

В Campbell–Shiller yield — один из сигналов xt в регрессии предсказуемости. Не путайте с купонной доходностью облигации: у акций поток не фиксирован, дивиденды режут и наращивают.

#### 7.2.0.5 Факторная модель

Факторная модель объясняет избыточную доходность актива i через общие факторы Fj и idiosyncratic остаток ei:

$$r_i^e = \alpha_i + \sum_{j=1}^{L} \beta_{ij} F_j + e_i$$

В строгой постановке курса факторы ортогональны, а остатки ei поперечно некоррелированы — тогда диверсификация снимает idiosyncratic risk. βi j — нагрузки; αi — то, что факторы не объяснили (кандидат на аномалию или миск pricing). APT и Fama–MacBeth опираются на эту структуру.

#### 7.2.0.6 Fama–MacBeth

Двухшаговая процедура Fama–MacBeth оценивает премии за факторы без предположения о стационарности β каждой акции на всей выборке.

Шаг 1: для каждой акции i временная регрессия ri,te на факторы → оценки β̂i. Шаг 2: на каждой дате t кросс-секционная регрессия ri,te на β̂i → коэффициенты γ̂t. Шаг 3: среднее γ̄ по времени — оценка премии за фактор с Fama–MacBeth standard errors.

Интуиция: сначала «кто чувствителен к фактору», потом «платят ли рынки за эту чувствительность сегодня».

#### 7.2.0.7 APT

Arbitrage Pricing Theory (Ross): при достаточном числе факторов хорошо диверсифицированный портфель не несёт idiosyncratic risk; ожидаемая доходность — линейная функция factor loadings. В отличие от CAPM, не требует одного «рыночного» портфеля и квадратичной полезности — достаточно отсутствия арбитража.

На экзамене: APT — многofакторное ожидание без жёсткой истории mean–variance; CAPM — частный случай с одним фактором Rm−Rf. Оба связаны с β и премиями λj.

#### 7.2.0.8 Spanning

Spanning-тест спрашивает: объясняет ли известная модель (CAPM, Fama–French 3/5) доходность нового фактора или стратегии? Регрессируете доходность кандидата на доходности факторов базовой модели; значимый intercept α → фактор не «поглощён» моделью — несёт отдельную премию.

Пример: momentum UMD часто даёт α поверх FF3 — значит, value и size не spanning momentum. Для экзамена: spanning — про вложенность информации, не про causality.

#### 7.2.0.9 Sharpe ratio

Sharpe ratio — доходность на единицу общего риска (волатильности):

$$\text{Sharpe} = \frac{\bar{R} - R_f}{\sigma}$$

Чем выше Sharpe, тем больше премия за каждый процент σ. Исторически рынок акций США даёт Sharpe порядка 0.3–0.5 в годовых терминах (зависит от выборки).

Из месячных данных при i.i.d. годовой Sharpe ≈ месячный $\times \sqrt{12}$. Sharpe сравнивает портфели с разной волатильностью; Treynor — для диверсифицированных портфелей с фокусом на β.

#### 7.2.0.10 β (бета)

β — чувствительность доходности актива к фактору. В CAPM βi= Cov(Ri,Rm)/Var(Rm): на сколько процентов в среднем движется акция, когда рынок движется на 1%.

В многофакторной модели у актива несколько βi j — по одному на фактор Fj. На первом шаге Fama–MacBeth βi оценивают по времени для каждой акции. Высокая β → больше систематического риска → в CAPM требуется большая ожидаемая премия.

#### 7.2.0.11 α (альфа)

α — сверхдоходность, которую модель не объяснила: intercept в регрессии rie на факторы или рынок. Положительная Jensen α — фонд обогнал CAPM после учёта β; отрицательная — недобрал.

В факторной модели αi у отдельной акции на длинной выборке должен быть ≈0 в эффективном рынке; у стратегии или фонда устойчивая α — признак skill или неучтённого риска. Не путайте α в регрессии с буквой α уровня VaR (там это хвостовая вероятность).

#### 7.2.0.12 CAPM

Capital Asset Pricing Model связывает ожидаемую премию актива с его рыночной β:

E[Ri] −Rf=βi(E[Rm]−Rf)

Идея: только систематический риск (корреляция с рынком) оплачивается; idiosyncratic risk диверсифицируется. Рыночный портфель — tangency portfolio при допущениях модели.

На данных CAPM слаб для сечения (size, value); используют как benchmark и для Jensen α. Экзамен: знать формулу, роль β, отличие от APT/FF.

#### 7.2.0.13 DSSW (noise traders)

Модель De Long, Shleifer, Summers, Waldmann (DSSW): на рынке есть рациональные арбитражёры и noise traders с ошибочными ожиданиями (sentiment). Арбитраж ограничен: рискованно ставить против толпы, пока sentiment не развернётся.

Цена может отклоняться от фундамента; noise traders иногда зарабатывают больше в коротком горизонте, «сдвигая риск» на арбитражёров. Формула цены связывает Pt с μt (sentiment) и поправкой на риск ρt. Связь с EMH: даже без новой информации цена движется из‑за потока убеждений.

#### 7.2.0.14 Fama–French

Модели Fama–French добавляют к рынку факторы size (SMB), value (HML) и в расширении profitability (RMW), investment (CMA). Объясняют сечение лучше, чем CAPM: малые и value-акции в среднем давали более высокую доходность.

Интерпретация: либо компенсация за риск, либо поведенческие искажения — курс даёт оба угла. В spanning-тестах FF — базовая модель; новые факторы (momentum) проверяют на α поверх FF.

#### 7.2.0.15 Momentum

Momentum (фактор UMD — up minus down): акции, которые хорошо росли за последние 6–12 месяцев, в среднем продолжают обгонять проигравших на коротком горизонте. Классическая аномалия для слабой формы EMH, если считать окно публичным.

Стратегия даёт оборот и просадки при разворотах. Часто не spanning FF3 — значит, премия не сводится к size/value. На экзамене: momentum — cross-section, не то же самое, что предсказуемость агрегированного рынка.

#### 7.2.0.16 Size premium

Size premium — наблюдение, что акции с малой капитализацией в среднем опережали крупные (SMB = small minus big). Возможные объяснения: компенсация за риск банкротства и ликвидности, или mispricing мелких имён.

В FF3 фактор SMB — лонг малые, шорт крупные в нейтрали по другим характеристикам. На экзамене не путайте size с β рынка: маленькая компания может иметь низкую рыночную β, но высокую нагрузку на SMB.

#### 7.2.0.17 Cross section (сечение)

Cross section — сравнение многих активов в один момент времени: почему одни акции имеют более высокую ожидаемую доходность, чем другие. Здесь живут size, value, momentum, β в Fama–MacBeth.

Противопоставление: time series — один агрегированный рынок во времени (предсказуемость S&P по yield). Разные инструменты и разные выводы: рынок может быть слабо предсказуем в агрегате, но факторы в сечении — стабильны.

#### 7.2.0.18 Time series (временной ряд)

Time series анализ — доходность одного портфеля или рынка во времени: Rt+ 1 как функция прошлых сигналов xt (yield, volatility, spread). Регрессия Rt+ 1=a+b xt+εt+ 1 — стандартный каркас.

b≠ 0 может означать меняющуюся премию за риск, а не арбитраж. На экзамене отделяйте от cross-section факторов: dividend yield рынка ≠ HML в сечении акций.

#### 7.2.0.19 HML (value)

HML (high minus low book-to-market) — value-фактор Fama–French: длинная позиция в акциях с высоким отношением балансовой стоимости к рыночной, короткая в «growth» с низким B/M.

Value historically опережал growth; интерпретации — distress risk, mispricing ожиданий или учёт неучтённых рисков. В регрессии доходности фонда коэффициент на HML показывает value-экспозицию (style analysis).

#### 7.2.0.20 q5-модель

q5-модель (Hou, Xue, Zhang) — пять факторов с акцентом на profitability (ROE) и investment (рост активов), ближе к инвестиционной логике q-theory, чем классический FF5.

Идея: фирмы с высокой рентабельностью и умеренным инвестированием в среднем дают другую доходность, чем агрессивно разрастающиеся «growth». На экзамене достаточно знать, что это альтернатива FF по сечению, не выводить коэффициенты.

## 7.3 Глоссарий — часть 3

#### 7.3.0.1 Zero-coupon

Zero-coupon облигация не платит купонов до погашения: один платёж 1 (или номинал) в срок n. Цена сегодня — дисконтированная стоимость единичного платежа:

$$P_t^{(n)} = \frac{1}{(1+y)^n}$$

где y — yield to maturity на момент покупки. Вся доходность — из изменения цены и приближения к погашению (pull to par). Базовый кирпич кривой доходности и форвардных ставок.

#### 7.3.0.2 Yield (доходность к погашению)

Yield to maturity (YTM) — постоянная ставка y, при которой текущая цена равна приведённой стоимости всех будущих платежей облигации. Для zero-coupon это просто P= 1/(1+y)n.

Критично: yield на входе в позицию — не то же самое, что realized holding period return. Если кривая сдвинулась, фактическая доходность за период отличается от начального y. На экзамене различайте promised YTM и ex-post return.

#### 7.3.0.3 Forward rate

Forward rate Ft(n) — ставка, зафиксированная сегодня на будущий однопериодный займ, согласованная с ценами zero-coupon разных сроков (нет арбитража). В gross-обозначениях Y= 1 +y:

(Yt(2))2=Yt(1)⋅Ft(2)

Интуиция: двухлетняя ставка должна совпадать с «один год сейчас + один год потом по форварду». Из кривой spot извлекают implied forwards.

#### 7.3.0.4 Expectations hypothesis

Expectations hypothesis (EH): долгосрочная ставка — среднее ожидаемых будущих краткосрочных ставок (с поправкой на терминологию gross/net). Forward rate — несмещённый прогноз будущей spot rate.

На данных EH обычно отвергается: длинные облигации несут term premium — инвесторы требуют доплату за длительность сверх ожидаемого пути кратких ставок. Fama–Bliss показывает предсказуемость премии через спред форвардов.

#### 7.3.0.5 Term premium

Term premium — дополнительная ожидаемая доходность (или скидка к ожиданию) за удержание длинной облигации сверх того, что предсказывает EH из кратких ставок. Отражает риск сдвига кривой, инфляции, ликвидности Treasuries.

Если term premium положителен, долгосрочные бумаги в среднем дают больше, чем «катание» кратких. В регрессиях Fama–Bliss избыточная доходность облигации связана со спредом f(n)−y(1) — практический прокси премии.

#### 7.3.0.6 Fama–Bliss

Fama–Bliss (1987) — эмпирика term structure: избыточная доходность облигации срока n предсказуема спредом между forward и текущей краткой ставкой:

rt,t+ 1e(n)=γ0+γ1(ft(n)−yt(1)) +εt+ 1

Когда форвард выше spot, в среднем следует более высокая realized premium — отклонение от чистого EH. Cochrane–Piazzesi обобщают на линейную комбинацию форвардов разных сроков.

#### 7.3.0.7 Кривая доходности

Кривая доходности — зависимость YTM (или spot) от срока погашения n. Нормальная (вверх) — длинные ставки выше кратких; инвертированная — краткие выше длинных, часто перед рецессией.

Форма кривой складывается из ожидаемого пути кратких ставок и term premium. Связь с макро: инфляция, политика ЦБ, спрос на safe assets. На экзамене: не путайте движение вдоль кривой и сдвиг всей кривой для duration.

#### 7.3.0.8 Duration

Duration — мера чувствительности цены облигации к изменению доходности. При модифицированной duration приблизительно Δ P/P≈  −D Δ y: падение yield → рост цены (обратная связь).

Длиннее срок и ниже купон → выше duration → больше ценовой риск при сдвиге кривой. Duration связана с term premium и риском портфеля облигаций; для точного хеджа смотрят convexity.

## 7.4 Глоссарий — часть 4

#### 7.4.0.1 VaR

Value at Risk (VaR) на уровне α — порог потерь, который не превышается с вероятностью 1 −α в заданном горизонте. Если R — доходность портфеля, смотрят на потерю −R:

Pr (−R≥VaRα) =α

Пример: VaR5%= 2% — в 5% худших дней потеря не меньше 2% (знак конвенции уточняйте в задаче). VaR — квантиль хвоста, не средний убыток: два портфеля с одинаковым VaR могут иметь разную глубину катастроф дальше порога. Именно поэтому вводят Expected Shortfall.

#### 7.4.0.2 Expected Shortfall (ES)

Expected Shortfall (ES), также CVaR — средний размер потери в тех сценариях, где убыток уже пробил VaR. Сначала задают VaR на уровне α (например, 5% худших дней):

Pr (−R≥VaRα) =α

Затем ES спрашивает: «если мы попали в этот хвост, насколько плохо в среднем?»

ESα=E[−R∣−R≥VaRα]

Интуиция: VaR — порог «стены»; ES — средняя глубина ямы за стеной. Всегда ESα≥ VaRα. Два портфеля с одинаковым VaR, но разным ES — у одного хвост толще; регуляторы (Basel III) сместились к ES, потому что VaR не субаддитивен и молчит о форме хвоста.

На экзамене: ES — про условное среднее в хвосте; не путать с дисперсией w⊤C w и не путать α здесь (уровень хвоста) с Jensen α.

#### 7.4.0.3 Active return / weights

Active return — отклонение доходности портфеля от бенчмарка: Rp−RB. Active weights wA=w−wB показывают, где менеджер перегрузил или недогрузил активы относительно индекса; сумма active weights равна нулю (доллар-нейтральное отклонение при тех же суммарных весах).

Положительная active return — цель активного управления; её разлагают на allocation и selection. Связь с tracking error: высокие active weights при том же C → больше риск отклонения от бенчмарка.

#### 7.4.0.4 Ковариационная матрица

Ковариационная матрица C доходностей активов — сердце mean–variance и риска портфеля. Дисперсия портфеля с весами w:

σw2=w⊤C w

Диагональ C — дисперсии; внедиагональ — ковариации (корреляции масштабированы на σiσj). Factor models снижают размерность: C≈B ΣFB⊤+D — проще оценивать и стабильнее в оптимизации.

VaR/ES смотрят на хвост распределения R; w⊤C w — про второй момент в гауссовой логике, не заменяет ES при толстых хвостах.

#### 7.4.0.5 Risk management vs PM

Portfolio management и risk management — разные функции с разными стимулами. PM часто похож на long call: участвует в upside, бонус за доходность; risk manager ограничивает хвосты, VaR/ES, лимиты — «страховка» для фирмы.

Конфликт: PM хочет рисковать ради α, риск-офицер режет позиции перед кризисом. На экзамене: назовите асимметрию payoff и почему лимиты VaR/ES не заменяют здравый смысл (модельный риск, ликвидность).

## 7.5 Глоссарий — часть 5

#### 7.5.0.1 BSV

Brandt–Santa-Clara–Valkanov (BSV) — parametric portfolio policy: веса линейно зависят от характеристик акций xi,t (size, value, momentum и т.д.), а не от полной оценки μ̂ и огромной C как в Markowitz:

$$w_{i,t} = \bar{w}_{i,t} + \frac{\theta^\top x_{i,t}}{N_t}$$

w̄ — cap-weight бенчмарк, xi,t стандартизованы, θ оценивают из данных. Меньше ошибка extreme weights от шумной μ̂; удобно для большого N.

#### 7.5.0.2 Markowitz

Markowitz mean–variance — выбираем веса w, максимизируя $\mu^\top w - \frac{\gamma}{2} w^\top C w$. Красиво теоретически, хрупко на данных: оценки μ̂ шумные, малая ошибка в среднем → экстремальные веса и плохой out-of-sample Sharpe.

Поэтому на практике — ограничения, shrinkage, Black–Litterman, BSV. На экзамене: знать проблему μ̂, не только формулу frontier.

#### 7.5.0.3 Black–Litterman

Black–Litterman комбинирует рыночное равновесие (implied returns из cap-weight и C) с субъективными views инвестора и явной неопределённостью views. Веса получаются менее экстремальными, чем у «голого» Markowitz с сырой μ̂.

Интуиция: доверяй рынку как prior, добавляй умеренные ставки («value перевесит growth на 2%») с доверительным интервалом. Альтернатива оптимизации без полного отказа от активных идей.

#### 7.5.0.4 Treynor ratio

Treynor ratio — премия на единицу систематического риска (β), а не общей σ:

$$\text{Treynor} = \frac{\bar{R} - R_f}{\beta}$$

Имеет смысл для хорошо диверсифицированных портфелей, где idiosyncratic risk снят. Сравнение с Sharpe: Sharpe — total risk; Treynor — market risk. Фонд с высокой β может иметь низкий Treynor, даже если Sharpe приличный.

#### 7.5.0.5 M²

M² (Modigliani–Modigliani) масштабирует волатильность портфеля до уровня рынка левериджем/де-левериджем и сравнивает доходность в «одинаковых единицах риска». Удобно объяснить инвестору: «если бы ваш фонд имел ту же σ, что S&P, вот сколько бы вы заработали».

Связано с Sharpe: ранжирование по M² эквивалентно ранжированию по Sharpe, но в процентах доходности, а не в безразмерном ratio.

#### 7.5.0.6 Style analysis

Style analysis (William Sharpe) — регрессия доходности фонда на набор стилевых индексов (акции, облигации, value, growth) с ограничением весов ≥ 0 и суммой 1. Получаем «теневой портфель» без раскрытия фактических holdings.

Помогает отделить β-стили от заявленной α. Ограничение long-only весов — ключ; без него fit слишком свободный.

# 8 Справочник формул

Все ключевые формулы курса (20 записей, 5 частей).

## 8.1 Формулы — часть 1: Фон и эффективность рынка

Оптимальная доля в рисковом активе (CARA)

$$w^* = \frac{\mu}{A\sigma^2}$$

μ=E[R−Rf] — премия; A — неприязнь к риску; σ — волатильность избыточной доходности.

Избыточная доходность

Re=R−Rf

Доходность над безрисковой ставкой Rf (T-bills).

Equity risk premium (ERP)

ERP =E[R−Rf]

Ожидаемая премия рынка акций; на практике оценивается с большой неопределённостью.

## 8.2 Формулы — часть 2: Акции

Факторная модель (сечение)

$$r_i^e = \alpha_i + \sum_{j=1}^{L} \beta_{ij} F_j + e_i$$

Строгая модель: факторы ортогональны; остатки ei поперечно некоррелированы.

Бета актива (CAPM)

$$\beta_i = \frac{\mathrm{Cov}(R_i, R_m)}{\mathrm{Var}(R_m)}$$

Чувствительность доходности актива к рыночному портфелю.

Лог-доходность

$$r_t = \ln(1+R_t), \quad \ln\frac{P_T}{P_0} = \sum_{t=1}^{T} r_t$$

Аддитивна по времени; в портфеле по весам — простые Rt.

Предсказуемость (временной ряд)

Rt+ 1=a+b xt+εt+ 1

b= 0 — random walk; b≠ 0 может быть time-varying risk premium.

Fama–MacBeth (кросс-секция)

ri,te=γ0t+γ1t β̂i+ ⋯ +εi,t

Шаг 2: на каждой дате t оценивают премию за β; γ̄1 — risk premium фактора.

Sharpe ratio

$$\text{Sharpe} = \frac{\bar{R} - R_f}{\sigma}$$

Премия на единицу общей волатильности; рынок США ≈ 0.4 годовых.

CAPM (ожидаемая доходность)

E[Ri] −Rf=βi(E[Rm]−Rf)

Оплачивается только систематический риск.

CAPM-регрессия (оценка α, β)

Ri,te=αi+βiRm,te+εi,t

Jensen α — intercept; βi — наклон.

DSSW (noise traders)

$$P_t = 1 + \frac{\mu_t}{1+R} + \frac{\rho_t}{R(1+R)}$$

μt — sentiment; ρt — поправка на риск арбитража.

## 8.3 Формулы — часть 3: Гособлигации

Цена zero-coupon

$$P_t^{(n)} = \frac{1}{(1+y)^n}$$

y — yield to maturity на момент покупки.

Gross forward rate

$$(Y_t^{(2)})^2 = Y_t^{(1)} \cdot F_t^{(2)}, \quad F_t^{(2)} = \frac{(Y_t^{(2)})^2}{Y_t^{(1)}}$$

Y= 1 +y (gross yield). Экзамен: F=Y22/Y1.

Expectations hypothesis

ft(n)≈Et[yt+n(1)]

Forward ≈ ожидаемая будущая spot; на данных обычно отвергается (term premium).

Duration (ценовой риск)

$$\frac{\Delta P}{P} \approx -D_{\text{mod}}\,\Delta y$$

Падение yield → рост цены облигации.

Fama–Bliss

rt,t+ 1e(n)=γ0+γ1(ft(n)−yt(1)) +εt+ 1

Спред форвардов предсказывает избыточную доходность облигации.

Holding period return облигации

$$R_{t\to t+1} = \frac{P_{t+1}^{(n-1)} - P_t^{(n)}}{P_t^{(n)}}$$

Realized return ≠ начальный YTM, если кривая сдвинулась.

## 8.4 Формулы — часть 4: Риски портфеля

Доходность портфеля

$$R_w = w' R, \quad R_t = \frac{P_t + CF_t}{P_{t-1}} - 1$$

Простые доходности; ∑wi= 1.

Дисперсия портфеля

σw2=w′C w

C — ковариационная матрица доходностей.

Ковариации через факторы

C≈B ΣFB′ +D

Снижает число параметров при тысячах акций.

Value at Risk (определение)

Pr (−R≥VaRα) =α

VaR — квантиль потерь, не средний хвост.

Parametric VaR (FX-пример)

VaR =z1 −α σh× exposure

95%: z≈ 1.65; $\sigma_h = \sigma_{\text{daily}}\sqrt{h}$ (напр. h= 10 дней).

Масштаб волатильности по горизонту

$$\sigma_h = \sigma_{\text{daily}}\sqrt{h}$$

i.i.d.: 10-day σ = daily $\times\sqrt{10}$.

Expected Shortfall (ES / CVaR)

ESα=E[−R∣−R≥VaRα]

Средний убыток при пробитии VaR; всегда ES ≥ VaR.

VaR двух факторов (корреляция)

$$\text{VaR}_{\text{tot}} = \sqrt{\text{VaR}_1^2 + \text{VaR}_2^2 + 2\rho\,\text{VaR}_1\,\text{VaR}_2}$$

ρ< 0 — хедж снижает совокупный риск.

Active return / weights

Rp−RB,wA=w−wB,  ∑wA= 0

Active weights dollar-neutral относительно бенчмарка.

## 8.5 Формулы — часть 5: BSV и performance

Markowitz mean–variance

$$\max_w \; \mu'w - \frac{\gamma}{2}\,w'Cw$$

Чувствителен к ошибке μ̂ → экстремальные веса.

BSV веса

$$w_{i,t} = \bar{w}_{i,t} + \frac{\theta' x_{i,t}}{N_t}$$

xi,t стандартизованы; w̄ — cap-weight бенчмарк.

Jensen’s α

α=Ra−Rf−β(Rm−Rf)

Сверхдоходность после учёта рыночной β.

Treynor ratio

$$\text{Treynor} = \frac{\bar{R} - R_f}{\beta}$$

Для хорошо диверсифицированных портфелей.

Годовой Sharpe из месячного

$$\text{Sharpe}_{\text{ann}} = \text{Sharpe}_{\text{m}} \times \sqrt{12}$$

При i.i.d. месячных доходностях.

M² (Modigliani–Modigliani)

$$R_{M^2} = R_f + \frac{\sigma_m}{\sigma_p}(R_p - R_f)$$

Масштабирует портфель до σ рынка; ранжирование как у Sharpe.

# 9 Шпаргалка

# | Вопрос | Ответ
--- | --- | ---
1 | Ликвидность акций | Высокая
2 | Ликвидность Treasuries | Высокая
3 | Высокий σ → низкий return? | Нет
4 | ERP ±20 bps? | Нет
5 | Log returns | Линейно по времени
6 | ES vs VaR | ES = mean loss beyond VaR
7 | Forward (gross) | F=Y22/Y1
8 | Fama–Bliss | excess = γ × spread
9 | Fama–MacBeth | N TS → T CS → mean γ
10 | Strict factor model | residuals uncorrelated
11 | Dividend yield | + predictor long horizon
12 | Liquidity spiral | funding → delever → prices
13 | w* 4%, 20%, A=2 | 50%
14 | Campbell–Shiller | unexpected r ↔︎ CF & discount news

# 10 Связанные файлы

Файл | Назначение
--- | ---
`arm_exam_prep.Rmd` | Короткий конспект ~12 стр.
`arm_audio_script.md` | Текст для TTS / прогулки
`arm_videos.md` | YouTube и лекции по темам
`ARM1_1` … `ARM1_5` | Официальные слайды
arm1.koveh.com/quizzes | Квиз, словарь, формулы

Сборка: `Rscript -e 'rmarkdown::render("arm_textbook.Rmd")'` в этой папке.